В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены медианы AK и CM. Докажите что угол AMC =углу CKA

Для доказательства равенства углов AMC и CKA в треугольнике ABC, где ABC - равнобедренный треугольник с основанием AC и проведенными медианами AK и CM, мы можем использовать следующие свойства равнобедренного треугольника и свойства медиан:

1. Свойства равнобедренного треугольника:
- В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны между собой.
- Углы, при основании равнобедренного треугольника, равны между собой.

2. Свойства медиан:
- Медианы треугольника делят каждую другую медиану пополам.
- Медиана, проведенная в треугольнике, делит его на два равных треугольника.

Для начала, обратим внимание на основание равнобедренного треугольника AC. Так как ABC - равнобедренный треугольник, то стороны AB и BC равны между собой (AB = BC).

Затем рассмотрим медианы AK и CM. По свойству медиан, медиана AK делит медиану CM пополам. Это означает, что точка K является серединой медианы CM (MK = KC).

После этого, мы можем построить отрезок CK и провести его перпендикулярно к отрезку AB (у нас получается линия, перпендикулярная основанию AC и проходящая через середину медианы CM).

Теперь рассмотрим треугольники CKM и KCA. По свойству равнобедренного треугольника ABC (стороны AB и BC равны), а также свойству медиан CK и CM (MK = KC), у нас есть следующее:
- Как уже указано ранее, MK = KC.
- Угол MKC в треугольнике CKM равен углу KCA в треугольнике KCA. Это свойство равнобедренного треугольника.
- Угол CKA в треугольнике KCA равен углу CKM в треугольнике CKM. Это свойство равнобедренного треугольника.

Таким образом, мы получили, что угол CKM равен углу KCA и угол KCA равен углу CKA.

Теперь рассмотрим треугольники CMA и KCM. В этих треугольниках мы также можем использовать свойства равнобедренного треугольника и свойства медиан:
- Мы уже знаем, что угол CKM равен углу KCA и угол CKA. Получается, что угол KCM в треугольнике KCM равен углу KCA и CKA.
- По свойству равнобедренного треугольника ABC (стороны AB и BC равны), а также свойству медиан CK и CM (MK = KC), у нас есть следующее:
- Угол KMC в треугольнике CMA равен углу KCM в треугольнике KCM. Это свойство равнобедренного треугольника.

Итак, мы получили, что угол CKM равен углу KCA и CKA, а угол KMC равен углу KCM.

Таким образом, у нас есть следующая цепочка равенств:
- Угол CKM = углу KCA = углу CKA,
- Угол KMC = углу KCM.

Мы доказали, что угол AMC равен углу CKA, что и требовалось доказать.