В прямоугольной трапеции основания равны 10 см и 15 см.Расстояние от некоторой точки до плоскости трапеции 8 см.Расстояние от некоторой точки до каждой стороны трапеции одинаковы.Найдите эти расстояния

расстояние до сторон трапеции 10 см

Объяснение:

Дана трапеция прямоугольная АВСD

где верхнее основание ВС=10см

Нижнее АD=15см

<BAD=<CAD=90°

 Есть некая точка S в пространстве которая находится над плоскостью трапеции на высоте 8см  и расположена равноудаленно от сторон трапеции.

Найти  расстояние  от точки S до сторон трапеции. 

Рассматриваемом трапеции расстояние  до сторон от точки S будет равна образующей конуса вписанного в пирамиду основанием которой является трапеция. 

В трапецию можно вписать окружность если соблюдается условие: сумма сторон основании равна сумме боковых сторон. То есть

AD+BC=AB+CD

10+15=AB+CD=25см

Проводим с вершины С к нижнему основание  AD высоту CH.

CH=AB

Разность основании трапеции 

AD-BC=15-10=5см

Длина отрезков AH=BC=10см 

DH=AD-BC=5см

Образуется прямоугольный треугольник ΔCHD . Где CH и DH катеты  CD гипотенуза 

По теореме Пифагора 

СD²=CH²+DH²

Обозначим высоту  CH=х тогда

CD=√(х²+5²)=√(х²+25)

Вставим в формулу условия суммы сторон основании и боковых сторон при котором можно вписать окружность в трапеци

AB+CD=25

здесь АВ=СН=х

25=х+√(х²+25)

25-х=√(х²+25) возведем в квадрат 

(25-х)²=х²+25

625-50х+х²=х²+25

625-50х+х²-х²-25=0

600-50х=0

600=50х

Х=600/50=12

Высота трапеции СН=12см

Боковая сторона АВ=СН=12см

CD=√(CH²+DH²)=√(12²+5²)=√(144+25)=√169=13см

Или AD+BC=AB+CD

10+15=12+13

Высота  CH равна диаметру вписанной окружности d=2r=12см 

Отсюда радиус вписанной окружности 

r=d/2=CH/2=12/2=6см

Так как точка S находится перпендикулярно к плоскости трапеции над  центром вписанной окружности.

Обозначим точки касания вписанной окружности для каждой стороны трапеции

 АB точка E

ВС точка F

CD точка G

АD точка J.

Центр окружности обозначим буквой  О.

Расстояние от точек E,F, G,J до центра О равно радиусу вписанной окружности:

OE=OF=OG=OJ=r=6см

 Расстояние плоскости трапеции до точки S до центра вписанной окружности SO=h=8см. 

Расстояние от точки S до сторон трапеции находим по теореме Пифагора. 

SE=SF=SG=SJ=L 

L=√(r²+h²)=√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10см