В прямоугольном треугольнике вписана окружность разделило гипотенузу на отрезки 3 и 10 см. Найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник, если периметр этого треугольника 30 см.​

Добрый день!

Для решения данной задачи воспользуемся следующими знаниями:

1. В прямоугольном треугольнике окружность, вписанная в гипотенузу, делит ее на две отрезка, длины которых равны радиусу окружности и катетам треугольника.

2. Сумма длин всех сторон треугольника равна его периметру.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором вписана окружность. Мы знаем, что эта окружность разделяет гипотенузу на два отрезка длиной 3 и 10 см. Для начала найдем длину гипотенузы.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой с длиной c выполняется равенство a^2 + b^2 = c^2. По условию у нас есть два катета длиной 3 и 10 см, так что можем записать уравнение:

3^2 + 10^2 = c^2.

Упростим это уравнение:

9 + 100 = c^2,

109 = c^2.

Извлекая квадратный корень, получим:

c = √109 ≈ 10.44 см.

Теперь найдем полупериметр треугольника. Полупериметр вычисляется по формуле p = (a + b + c)/2, где a, b и c - длины сторон треугольника. Подставляем известные значения:

p = (3 + 10 + 10.44)/2 ≈ 11.72 см.

Так как периметр треугольника равен 30 см, то сумма длин всех его сторон равна 2p = 30 см. Разделим это уравнение на 2:

p = 30/2 = 15 см.

Теперь мы можем рассчитать радиус окружности, вписанной в данный треугольник. Воспользуемся формулой радиуса окружности, вписанной в треугольник, равновеликой с полупериметром треугольника и обратно пропорциональной этому полупериметру:

r = p(2p - a - b - c)/2 = 15(2*15 - 3 - 10 - 10.44)/2,

r = 15(30 - 3 - 10 - 10.44)/2,

r = 15(29.56)/2,

r ≈ 221.7/2,

r ≈ 11.08 см.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный треугольник, составляет примерно 11.08 см.