В прямоугольном треугольнике dep p=90° , проведена высота PK, PE=6 cm KE= 3 cm найдите угол PDE
​

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойством прямоугольного треугольника.

У нас есть прямоугольный треугольник DEP, где угол P равен 90°. Высота PK проведена из вершины P к гипотенузе DE треугольника.

В треугольнике DEP применим теорему Пифагора:

EP^2 + PE^2 = DE^2.

У нас известно, что PE = 6 см и KE = 3 см. Подставляем значения в формулу:

EP^2 + 6^2 = DE^2.

EP^2 + 36 = DE^2. ------- (1)

Теперь рассмотрим треугольник PDE. Мы хотим найти угол PDE.

Угол PDE - это угол между гипотенузой DE и высотой PK.

Высота PK делит треугольник PDE на два прямоугольных треугольника: PKE и PKD.

Давайте рассмотрим треугольник PKE. В нём мы знаем две стороны: PE = 6 см и KE = 3 см. Найдем гипотенузу PK, применив теорему Пифагора:

PK^2 = PE^2 + KE^2.

PK^2 = 6^2 + 3^2.

PK^2 = 36 + 9.

PK^2 = 45.

PK = √45.

PK = 3√5 см. ------- (2)

Теперь нам известны значения PK и KP, давайте рассмотрим треугольник PDK.

Поскольку это прямоугольный треугольник, может примениться теорема Пифагора:

PD^2 = PK^2 + DK^2.

DK - это отрезок, который мы хотим найти.

Подставляем значения:

PD^2 = (3√5)^2 + DK^2.

PD^2 = 45 + DK^2. ------- (3)

Теперь объединим уравнения (1) и (3), чтобы найти значение DK.

У нас есть два уравнения:

EP^2 + 36 = DE^2. ------- (1)

PD^2 = 45 + DK^2. ------- (3)

Приравняем правые части уравнений:

DE^2 = 45 + DK^2 - 36.

DE^2 = 9 + DK^2.

EP^2 + 36 = 9 + DK^2.

EP^2 + 27 = DK^2. ------- (4)

Вернемся к треугольнику PKE. В нем угол P = 90° и угол EPK = угол DPК, так как он соответствует разделению треугольника на два прямоугольных треугольника.

Таким образом, угол PDE = угол DPК.

Заметим, что угол EPD - это прямой угол (90°).

В треугольнике PDE у нас есть два известных угла: угол EPD (90°) и угол DPК, который мы хотим найти.

Сумма углов в треугольнике всегда равна 180°:

90° + угол DPК + угол PDE = 180°.

угол DPК + угол PDE = 180° - 90°.

угол DPК + угол PDE = 90°.

Угол DPК = угол PDE. ------- (5)

Теперь вернемся к уравнению (4):

EP^2 + 27 = DK^2.

также заметим, что EP^2 = PE^2 = 6^2 = 36.

36 + 27 = DK^2.

63 = DK^2.

DK^2 = 63.

DK = √63.

DK = 3√7 см. ------- (6)

Теперь мы знаем значения PK и DK, давайте найдем угол PDE путем рассмотрения прямоугольного треугольника DEP.

С помощью теоремы тангентов, мы можем записать:

tg(угол PDE) = DK / PK.

tg(угол PDE) = (3√7 / 3√5).

tg(угол PDE) = √7 / √5.

Чтобы упростить этот тангенс, умножим на √5 / √5:

tg(угол PDE) = (√7 / √5) * (√5 / √5).

tg(угол PDE) = √(7 * 5) / √(5 * 5).

tg(угол PDE) = √35 / 5.

Таким образом, угол PDE равен tg^(-1)(√35 / 5), где tg^(-1) обозначает арктангенс.

Для получения численного значения угла PDE, возьмем калькулятор и найдем арктангенс (√35 / 5).