В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30 ° Найдите высоту пирамиды, если радиус описанной вокруг ее сферы равен 4

Давай рассмотрим этот вопрос пошагово.

Шаг 1: Понимание и анализ задачи
Задача говорит о правильной треугольной пирамиде. Правильная пирамида - это пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а все боковые грани равны между собой. В данном случае, основание пирамиды - треугольник, у которого все стороны равны.

Также в задаче говорится, что боковое ребро образует с плоскостью основания угол 30°. Это означает, что угол между плоскостью основания и боковым ребром равен 30°.

Нам также дано, что радиус описанной окружности вокруг этой пирамиды равен 4. Это означает, что расстояние от центра сферы (описанной окружности) до любой вершины пирамиды равно 4.

Шаг 2: Нахождение значения бокового ребра
Для решения задачи нам необходимо найти значение бокового ребра пирамиды. Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30°, а плоскость основания является треугольником. Так как треугольник является равносторонним, то все его углы равны 60°.

Зная, что сумма углов треугольника равна 180°, мы можем вычислить угол между боковым ребром и одной из сторон треугольника:
180° - 60° - 60° = 60°
Таким образом, угол между боковым ребром и одной из сторон треугольника равен 60°.

Теперь, мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти значение бокового ребра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза это значение бокового ребра, а угол между гипотенузой и одной из катетов равен 30°.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, так как у нас известны значения гипотенузы и угла:
sin(30°) = противолежащий катет / гипотенуза
sin(30°) = h / b (где h - это высота пирамиды, b - это значение бокового ребра)
sin(30°) = h / b
sin(30°) = 1/2

Теперь мы можем решить уравнение:
1/2 = h / b
b = 2h

Шаг 3: Нахождение значения радиуса описанной вокруг пирамиды сферы
Мы знаем, что радиус описанной окружности вокруг пирамиды равен 4. Из этой информации, мы можем сделать вывод, что расстояние от вершины пирамиды до центра сферы равно 4.

Теперь, давайте посмотрим на правильный треугольник, в котором вершина пирамиды является вершиной треугольника, а длина бокового ребра является стороной треугольника. Мы можем использовать пропорцию для нахождения значения высоты пирамиды.

Мы знаем, что радиус описанной окружности это гипотенуза прямоугольного треугольника, а расстояние от центра сферы до основания пирамиды это противолежащий катет.
Мы также знаем, что расстояние от вершины пирамиды до центра сферы является высотой пирамиды.

Используя пропорцию:
r / h = 2 / √3
4 / h = 2 / √3 (подставляем значение радиуса описанной окружности)
4 * √3 = 2h
h = (4 * √3) / 2
h = 2√3

Итак, высота пирамиды равна 2√3.