В правильной четырехугольной призме ABCDA¹B¹C¹D¹ сторона основания равна 2, и диагональ боковой грани равна √10.
Написать уравнение плоскостей АВ¹С и плоскости основания призмы.

Добрый день! Давайте разберем эту задачу по шагам.

1. Для начала поясним, что такое правильная четырехугольная призма. Правильная призма - это призма, у которой основания являются равными правильными многоугольниками (в данном случае это квадраты), а боковые грани - параллелограммы.

2. Дано, что сторона основания равна 2. Обозначим эту сторону как a. Также дано, что диагональ боковой грани равна √10. Обозначим эту диагональ как d.

3. Нам нужно найти уравнение плоскости АВ¹С. Для этого нам понадобятся координаты точек A, B и C.

4. Поскольку ABCDA¹B¹C¹ - это четырехугольная призма, то точки A, B и C должны лежать на одной прямой.

5. Заметим, что точки A и B - это вершины основания призмы. Обозначим координаты точки A как (x₁, y₁, z₁), а координаты точки B - как (x₂, y₂, z₂). Поскольку сторона основания равна 2, то координаты точки B могут быть выражены как (x₁ + a, y₁, z₁) или (x₁ - a, y₁, z₁) в зависимости от того, какой из сторон основания мы выбрали.

6. Также, поскольку диагональ боковой грани равна √10, то мы можем использовать это для нахождения координаты точки C относительно точки A и B. Зная координаты точки A и B, мы можем найти расстояние между ними и найти внутреннюю диагональ, используя теорему Пифагора. Затем мы можем найти координаты точки C, используя это расстояние и координаты точки A или B.

7. Теперь мы имеем координаты точек A, B и C. Используя эти координаты, мы можем составить уравнение плоскости АВ¹С. Для этого мы можем использовать уравнение плоскости в общей форме. Это уравнение имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты, которые мы должны найти.

8. Введем систему координат, в которой точка A будет находиться в начале координат (0, 0, 0). Тогда координаты точки B будут иметь вид (2, 0, 0), а координаты точки C - (x₃, y₃, z₃).

9. Подставим координаты точек A, B и C в уравнение плоскости АВ¹С. Получим следующее уравнение:
(0 - 2)(y₃) + (0 - 0)(z₃) + (0 - 0)(x₃ - 2) = 0
-2y₃ - 2x₃ + 4 = 0

10. Таким образом, уравнение плоскости АВ¹С имеет вид -2y₃ - 2x₃ + 4 = 0.

11. Теперь нам нужно найти уравнение плоскости основания призмы. Поскольку основание - это квадрат, то у нас есть два варианта уравнений плоскостей основания, в зависимости от выбранной стороны квадрата.

12. Подставим координаты точек A и D в уравнение плоскости, чтобы найти уравнение плоскости основания призмы. Пусть основание будет со стороной AB. Тогда уравнение плоскости основания будет иметь вид:
(0)(y) + (1)(z) + (0)(x - 0) = 0
z = 0

13. Таким образом, уравнение плоскости основания призмы при выбранной стороне AB - это z = 0.

14. Если бы мы выбрали сторону AD в качестве основания, то уравнение плоскости основания было бы x = 0.

Надеюсь, что эти шаги помогут вам понять, как решить эту задачу и составить уравнения плоскостей. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!