В параллелограмме abcd через точку пересечения O его диагоналей проведена прямая NM , параллельная стороне BC .

Докажите, что NM проходит через середины сторон AB и CD .

Для начала, давайте разберемся с определениями и свойствами параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD. По условию, проведена прямая NM, которая параллельна стороне BC. Нам нужно доказать, что эта прямая проходит через середины сторон AB и CD.

Доказательство:
1. Обозначим середины сторон AB и CD как E и F соответственно.
2. Проведем диагонали AC и BD параллелограмма ABCD.
3. Обозначим точку их пересечения как O.
4. Так как диагонали параллелограмма делятся пополам, то AE = EC и BF = FD.
5. Рассмотрим треугольники ABE и CDE.
6. У этих треугольников две пары равных сторон: AE = EC и AB = CD (по свойствам параллелограмма).
7. Одна сторона треугольника ABE равна одной стороне треугольника CDE (AE = EC).
8. Таким образом, по теореме о равных треугольниках треугольники ABE и CDE равны.
9. Это значит, что у них равны соответствующие углы (по свойству равенства треугольников).
10. Рассмотрим треугольники BFO и DFO.
11. У этих треугольников две пары равных сторон: BF = FD и BO = OD (по свойствам параллелограмма).
12. Одна сторона треугольника BFO равна одной стороне треугольника DFO (BF = FD).
13. Таким образом, по теореме о равных треугольниках треугольники BFO и DFO равны.
14. Это значит, что у них равны соответствующие углы (по свойству равенства треугольников).
15. Так как NM параллельна стороне BC, то угол EBO равен углу OFD (параллельные прямые пересекаются под одним и тем же углом).
16. Угол EBO равен углу OFD (по равенству треугольников BFO и DFO).
17. Таким образом, по свойству равности углов, угол EBO также равен углу OFD.
18. Углы EBO и OFD - это углы при вершинах треугольников ABE и CDE соответственно.
19. Поскольку эти треугольники равны, то и их углы при вершинах равны.
20. Это значит, что угол ABE равен углу CDE.
21. По свойству параллельности прямых, если углы АВЕ и СDE равны, то прямая NM, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, также будет проходить через середины сторон AB и CD.
22. Следовательно, мы доказали, что прямая NM проходит через середины сторон AB и CD.

Таким образом, мы подробно рассмотрели каждый шаг доказательства и обосновали его использование. Это позволяет нам объяснить школьнику логику решения и убедиться, что он понимает каждый этап.