В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка О₁ — центр квадрата АВСD, точка О₂ — центр квадрата СС₁D₁D. а) Докажите, что прямые А₁О₁ и В₁О₂ — скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А₁О₁ и В₁О₂, если ребро куба равно 2.

A)Допустим, это не так. Тогда точки A₁0₁B₁0₂ лежат в одной плоскости. Тогда в ней же лежат прямые, проходящие через O₁;O₂ параллельные A₁B₁ или, что то же самое, параллельные CD В частности, там лежат середины ребер AD и DD₁ ни вместе с A₁ задают плоскость грани куба AA₁D₁D, в которой не лежит B₁. Противоречие.

б)Введем координаты с началом в точке A и с осями x,y,z, направленными вдоль прямых AD,AB,AA₁ соответственно. Тогда координаты точек будут такими: A₁(0,0,2),B₁(0,2,2),O₁(1,1,0),O₂(2,1,1). Если отложить вектор A₁B₁ от точки B₁, то его конец T будет иметь координаты (1,3,0). Написав уравнение плоскости, проходящей через B₁,O₂,T, получим x+y+z-4=0. Тогда расстояние от точки (0;0;2) до этой плоскости составит

Объяснение: