В конус вписан шар радиуса R. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем конуса

Чтобы найти объем конуса, нам необходимы известные данные: радиус шара R и угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Обозначим радиус основания конуса как r. Так как шар вписан в конус, радиус шара r и радиус конуса R связаны следующим образом: r = R.

У нас есть угол между образующей конуса и плоскостью основания, который составляет 60°. Обозначим этот угол как α.

Чтобы найти объем конуса, мы используем следующую формулу: V = (1/3) * π * r^2 * h, где V - объем конуса, π - математическая постоянная пи (приближенное значение 3,14), r - радиус основания конуса и h - высота конуса.

Нам известен радиус конуса r = R, поэтому можем заменить r в формуле на R: V = (1/3) * π * R^2 * h.

Осталось найти высоту конуса h. Для этого построим прямую, проходящую через центр шара и основание конуса. Эта прямая будет являться высотой конуса.

Так как образующая конуса и высота конуса являются прямыми, пересекающими одну и ту же точку, то у них образуется прямоугольный треугольник. Угол между образующей и высотой составляет α = 60°.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половина радиуса основания конуса и образующей, у нас есть угол α = 60° и известны две стороны: R и ребро образующей, которое обозначим как l.

Теперь мы можем использовать синус этого угла, чтобы найти высоту конуса h. Воспользуемся формулой sin α = h / l.

sin 60° = h / R,
√3 / 2 = h / R.

Переупорядочивая эту формулу, мы получим: h = (√3 / 2) * R.

Теперь, когда у нас есть высота конуса h и радиус основания конуса r = R, мы можем подставить значения в формулу для объема конуса: V = (1/3) * π * R^2 * ((√3 / 2) * R).

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим: V = (π * √3 / 6) * R^3.

Таким образом, ответ на вопрос состоит в следующем: объем конуса равен (π * √3 / 6) * R^3.