В четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС. Оказалось, что угол АСВ тупой и AB=CD. Докажите, что угол ADC острый.​

Доказательство:

В треугольнике может быть только один тупой угол, значит все остальные - острые.

Т.е. ∠ABC < ∠ACB

Против большего угла лежит большая сторона, поэтому AC < AB

Проведем окружность с центром в точке С и радиусом r равным AB. Тогда Точка D должна лежать на окружности т.к. CD=AB=r.

Т.к. AC < AB то AC < r т.е. точка A лежит внутри окружности.

Обозначим пересечение прямой AC с окружностью точкой F (да, их две, но рассматривать будем ту, которая находится со стороны точки A)

∠FDC = ∠FDA + ∠ADC

Значит ∠ADC = ∠FDC - ∠FDA т.е. ∠ADC < ∠FDC (если ∠FDA = 0, то F и A совпадают, что невозможно т.к. А лежит внутри окружности)

Рассмотрим ∠FDC - он опирается на красную дугу (см рисунок) и проходит через центр окружности.

Его максимальное значение будет 90° (предельное) (очень близкое к нему представлено на рисунке 2)

Предельное оно потому, что если оно равно 90°, то точки D A C лежат на одной прямой, а в этом случае ABCD - не четырехугольник.

Т.е. ∠ADC < ∠FDC < 90° Значит ∠ADC < 90° Т.е. ∠ADC - острый. Доказано.

============  

Не забывайте нажать " ", поставить оценку и, если ответ удовлетворил, то выберите его как "Лучший"

Успехов в учебе

Угол ACB тупой, следовательно наибольший в треугольнике ABC.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны - больший угол.

ACB>ABC => AB>AC => CD>AC => CAD>ADC

Угол ADC не наибольший в треугольнике ADC, следовательно острый.