Установите, является ли данное уравнение уравнением окружности: 1) x^2 +2x +y^2-10y-23=0
2)x^2-12x+y^2+4y+40-0
3)x^2+y^2+6y+8x+34=0
4)x^2+y^2-4x-14y+51=0
Ребят, главное объясните как решать хотя бы 1-2 примера, везде нахожу ответ, но не могу разобраться как и почему,

Привет! Очень рад, что ты обратился ко мне за помощью. Давай разберемся с каждым уравнением по отдельности.

1) x^2 +2x +y^2-10y-23=0

Чтобы понять, является ли данное уравнение уравнением окружности, нужно проверить его форму. Общая форма уравнения окружности имеет вид:
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

где (a,b) - это координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Для начала, давай приведем данное уравнение к общей форме.

x^2 +2x +y^2-10y-23=0

Сгруппируем по x и y:

(x^2 + 2x) + (y^2 - 10y) - 23 = 0

Далее, завершим квадрат для x и для y:

(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 10y + 25) - 23 = 1 + 25

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 - 23 = 26

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 49

Теперь мы имеем уравнение окружности. Координаты центра окружности - (-1, 5), а радиус окружности - √49 = 7.

2) x^2-12x+y^2+4y+40-0

Мы проведем те же шаги, что и в предыдущем примере, чтобы привести данное уравнение к общей форме уравнения окружности:

x^2 - 12x + y^2 + 4y + 40 - 0

(x^2 - 12x) + (y^2 + 4y) + 40 = 0

(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 4y + 4) + 40 = 36 + 4

(x - 6)^2 + (y + 2)^2 = 4

Мы опять получили уравнение окружности со смещенным центром. Координаты центра окружности - (6, -2), а радиус окружности - √4 = 2.

3) x^2+y^2+6y+8x+34=0

Для приведения данного уравнения к общей форме уравнения окружности также проведем несколько шагов:

x^2 + y^2 + 6y + 8x + 34 = 0

(x^2 + 8x) + (y^2 + 6y) + 34 = 0

(x^2 + 8x + 16) + (y^2 + 6y + 9) + 34 = 16 + 9

(x + 4)^2 + (y + 3)^2 = 59

Мы снова получили уравнение окружности. Координаты центра окружности - (-4, -3), а радиус окружности - √59.

4) x^2+y^2-4x-14y+51=0

Повторим шаги для данного уравнения:

x^2 + y^2 - 4x - 14y + 51 = 0

(x^2 - 4x) + (y^2 - 14y) + 51 = 0

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 14y + 49) + 51 = 4 + 49

(x - 2)^2 + (y - 7)^2 = 104

И вновь получили уравнение окружности. Координаты центра окружности - (2, 7), а радиус окружности - √104.

Все четыре примера действительно определяют уравнения окружностей. Если уравнение имеет форму (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, то это уравнение окружности с центром в точке (a, b) и радиусом r.
Надеюсь, что эта подробная информация помогла тебе понять, как и для чего приводить уравнения к общей форме уравнения окружности и как определить, является ли уравнение окружностью. Если у тебя возникнут дополнительные вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, обратись за помощью. Удачи!