Урівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює - 72 градусів, а бісектриса цього кута має довжину l. знайдіть довжини сторін трикутника.

находим третий угол 180-144=36. Пусть A B и C вершины, M -точка пересечения

биссектрисы с BC.

BMA=180-72=108.

AMC=180-36-72=72=MCA

AC=AM=L

AB=(L/2)/cos72=L/2cos(90-18)=L/2sin18

Этот треугольник очень интересно устроен - в нем основание равно биссектрисе угла при основании, и еще им равен отрезок от вершины (противоположной основанию) до точки пересечения этой биссектрисы с боковой стороной. 

То, что у так построенного треугольника угол при основании равен 72 градуса, а угол при вершине 36, показать очень легко. Поскольку биссектриса делит треугольник на 2 равнобедренных, то получается, что угол при вершине равен половине угла при основании - этого уже достаточно, поскольку (если Ф - угол при вершине) Ф + 2*Ф + 2*Ф = 5*Ф = 180; откуда Ф  = 36.

Итак, известно, что основание a равно L, и что биссектриса делит боковую сторону b на отрезки, равные L и b - L, причем по свойству биссектрисы

L/(b - L) = b/L; или (обозначим x = b/L)

x^2 - x  - 1 =0;  x = (√5 + 1)/2; отрицательный корень отброшен

ответ a = L; b = L*(√5 + 1)/2;

Если внимательно посмотреть на Гошино решение, можно понять, почему этот треугольник можно считать "замечательным" :))) sin(18) = (√5 + 1)/4;