Упражнение 9.2 Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми; 1) CD и ВС;
2) АА1 и С1 D1; 3) АА1 и D1C; 4) АС и В1D1; 5) А1С1 и АС
​

1) Для нахождения угла между прямыми CD и ВС в кубе ABCDA1B1C1D1, мы можем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: если две прямые пересекаются третья параллельна одной из них, то углы, образованные этими прямыми и параллельной, равны. Обратимся к нашему рисунку. Прямая BC параллельна прямой CD, так как обе они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Также, BC параллельна прямой D1C1, так как эти две прямые также лежат в одной плоскости и не пересекаются. Теперь мы можем заметить, что углы BCD и BC1D1 оба являются прямыми углами. Во-первых, прямая BC пересекает прямую CD, образуя прямой угол BCD. Во-вторых, так как BC и C1D1 параллельны, угол BC1D1 тоже равен 90 градусов. Таким образом, угол между прямыми CD и ВС равен углу BCD, который составляет 90 градусов. Ответ: 90 градусов. 2) Чтобы найти угол между прямыми АА1 и С1D1, мы можем использовать свойство перпендикулярных прямых, которое гласит: если две пересекающиеся прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то углы, образованные этими прямыми, равны. Обратимся к нашему рисунку. Прямая С1D1 перпендикулярна к плоскости, в которой лежат прямые АА1 и А1С1. Поэтому, угол между прямыми АА1 и С1D1 равен углу А1С1D1. Найдем это значение. Угол А1С1D1 является накрест лежащим углом к углу С1А1D1. Обратим внимание, что АС и В1D1 — диагонали куба, поэтому они перпендикулярны друг другу. Таким образом, углы С1А1D1 и В1D1C1 оказываются смежными и оба являются прямыми углами. Таким образом, угол между прямыми АА1 и С1D1 равен углу А1С1D1, который также является прямым углом и составляет 90 градусов. Ответ: 90 градусов. 3) Чтобы найти угол между прямыми АА1 и D1C, мы также можем использовать свойство перпендикулярных прямых, описанное в предыдущем пункте. Прямая D1C перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямые АА1 и А1С1. Поэтому, угол между прямыми АА1 и D1C равен углу А1С1D1, который составляет 90 градусов. Ответ: 90 градусов. 4) Чтобы найти угол между прямыми АС и В1D1, мы можем использовать свойство параллельных прямых, описанное в первом пункте. Прямая BC1 параллельна прямой В1D1, так как обе они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Также, BC1 параллельна прямой AC, так как они обе пересекаются с прямой A1C1. Таким образом, угол между прямыми АС и В1D1 равен углу BC1D1. Но мы уже установили, что угол BC1D1 равен 90 градусам в первом пункте. Ответ: 90 градусов. 5) Чтобы найти угол между прямыми А1С1 и АС, мы можем использовать свойство наклонных прямых в параллелограммах. Обратимся к нашему рисунку. Мы видим, что прямая АС и прямая В1D1 складываются вместе и образуют диагональ параллелограмма А1В1С1D1. Прямая А1С1 является боковой стороной этого параллелограмма. В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому, угол между прямыми А1С1 и АС равен углу В1А1С, который составляет 180 градусов минус угол В1СА. Угол В1СА образуется прямоугольным треугольником В1АС1, так как BC1 и BC являются перпендикулярными диагоналями в этом треугольнике. Таким образом, угол В1СА равен 90 градусам. Таким образом, угол между прямыми А1С1 и АС равен 180 градусов минус 90 градусов, что равно 90 градусов. Ответ: 90 градусов.