Геометрия: Только 2 вопрос мне сильно надо

Только 2 вопрос

мне сильно надо

Ответы

vladyakovlev22 07.08.2020 12:18

Чертеж к решению - во вложении.

Т.к. О - центр вписанной в ΔАВС окружности, то О - точка пересечения биссектрис углов ΔАВС. Значит, АО и ВО - биссектрисы.

Т.к. О1 - центр внеписанной окружности то О1 - точка пересечения биссектрис внешних углов ΔАВС. Значит, АО1 и ВО1 - биссектрисы.

Пусть α - величина внешнего угла ΔАВС при вершине А, тогда (180°-α) - величина внутреннего угла ΔАВС при вершине А, т.к. эти углы - смежные.

Тогда

$\angle\ O_1AB=\frac{\alpha }{2};\ \angle\ OAB=\frac{180^0-\alpha}{2} =90^0-\frac{\alpha }{2};\\ \Rightarrow \angle OAO_1= \angle OAB+ \angle O_1AB=\frac{\alpha }{2}+(90^0-\frac{\alpha }{2})=90^0$

Аналогично, $\angle OBO_1=90^0$

Рассмотрим четырехугольник АОВО1.

У него сумма противолежащих углов А и В равна 90°+90° = 180°.

Т.к. сумма всех углов этого выпуклого четырехугольника равна 360°, то сумма двух других противолежащих при вершинах О и О1 также равна 180°.

Таким образом, воспользуемся утверждением: если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Делаем вывод, точки А, В, О и О1 лежат на одной окружности.

Доказано.