Точки m и e середины ребер ac и ab правильного тетраэдра abcd соответственно, p-точка пересечения медиан треугольника bdc. найдите угол между прямыми mp и de.

Примем длину рёбер заданного тетраэдра за 1.
Определим координаты всех заданных точек.
Для этого поместим пирамиду точкой А в начало координат, точку В - на оси ОУ.
Координаты точки А    Координаты точки B     Координаты точки C
 ax    ay      az                    bx    by       bz             cx      cy       cz
  0     0        0                     0        1       0          0.866    0.5       0

Координаты точки Д             Координаты точки Е
 дx        дy       дz                       Еx     Еy     Еz
0.2887  0.5  0.8165                      0       0.5     0

Координаты точки Р             Координаты точки М
Рx             Рy          Рz              Мx      Мy      Мz
0.3849  0.66667  0.2722          0.433   0.25       0.

Находим координаты векторов МР и ДЕ.
                                                              x               y               z             
Вектор МР={xР-xМ, yР-yМ, zР-zМ} -0,048113  0,4166667  0,27216553 Вектор ДЕ={xЕ-xД, yЕ-yД, zЕ-zД}   -0,288675          0       -0,81649658.

Косинус угла между векторами определяем по формуле:
.

Подставив координаты векторов в формулу, получаем:
cosα = 0,20833333 / 0,433012702  = 0,48112522.

Данному косинусу соответствует угол:
α = 1,0688585 радиан или  61,241082°.