Точки a(1; 3; -2), b(-3; 3; -2), c(-1; 4; -2),m(-1; 3; 2) являются вершинами пирамиды mabc.найти радиус шара, описанного вокруг данной пирамиды

Да, можно это задание решать с системы уравнений.

Но заданные координаты точек позволяют упростить решение.

Точки А. В и С имеют одинаковые координаты по оси Oz, значит, они лежат в горизонтальной плоскости, параллельной  хОу.

Значит, центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на одной вертикали с центром шара.

Радиус описанной окружности  

R = AB*AC*BC .  

             4*S

Расчет длин сторон:    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √16 =  4.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √5  ≈ 2,2361.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √5  ≈  2,2361.

Площадь треугольника ABC      

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 2.

Получаем R(ABC) = (4*√5*√5)/(4*2) = 20/8 = 5/2 = 2,5.

Центр (точка О1) имеет ординату 4 - 2,5 = 1,5.

Так как основание - равнобедренный треугольник (АС = ВС), то точки С, М и О лежат в одной плоскости, перпендикулярной АВ.

Между точками С и М расстояние по вертикали 4 ед., по горизонтали 1 ед. СМ = √(16 + 1) = √17.

Центр О шара равно удалён от С и М, то есть лежит на пересечении перпендикуляра к середине СМ (пусть это точка К) с вертикалью ОО1 через центр О1 описанной окружности АВС.

Координаты точки К = ((-1+(-1)/2=-1; (4+3)/2=3,5; (-2+2)/2=0)

К = (-1; 3,5; 0).

Проекция КО на горизонталь равна 3,5 - 1,5 = 2.

По вертикали из подобия имеем 2*(1/4) =  1/2.

Длина ОК = √(2² + (1/2)²) = √(4 + (1/4)) = √17/2.

То есть, радиус МО  - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.

Получаем: R = (√17/2)*√2 = √34/2.