Точка м - середина биссектрисы ск треугольника abс. на отрезке bm взята точка t так, что . докажите, что .

Онегин1337 Онегин1337    3   22.06.2019 14:30    1

Ответы
udovika udovika  17.07.2020 18:46
 1)Попробуем так ,  продолжим точку за M , как выглядит на рисунку , так как CTA=90а , то около треугольника можно   описать окружность такая что AC будет  диаметром , CK биссектриса ,то TCG=GCA, прямоугольник  AGCE в нем CE||AG , следовательно \cup \ AG=\cup \ CE; MTC=CTEMCB=GCA откуда следует что равны по соответствующим дугам 
GCA=CTE\\
GCA=MCB\\
CTE=MTC\\
MCB=MTC
вся это  конструкция выглядит довольно очень искусственно, имеется ввиду что исходя из того что AGCE является прямоугольник, авторы задачи видимо на этом и  конструировали эту самую задачу.
 
2)Теперь докажем численно , то есть для произвольного треугольник, что это и будет выполнятся , к примеру треугольник со сторонами   12;6;7 
такой треугольник существует исходя из неравенств треугольников (Можно конечно взять стороны за a;b;c и проделать операций которые описаны ниже,но оно будет объемным)
Докажем так предположим что  MCB=MTC , то есть что это действительно так , тогда должно выполнятся условие S_{BTA}+S_{BTC}+S_{CTA}=S_{ABC} , если это не так то предположение будет не верным , значит MCB \neq MTC
12^2=6^2+7^2-2*6*7*cos2a\\
 cos2a=-\frac{59}{84}
  по формуле биссектрисы , и зная что CM=0.5*CK, можно найти по формуле биссектрисы 
CM=\frac{6*7*cosa}{6+7}\\
 CM=\frac{6*7*cos(-\frac{arccos(-\frac{59}{84})}{2})}{13}\\ 
 CM=\frac{5*\sqrt{10.5}}{13} 
По теореме косинусов из треугольника BKC\\
KB=\frac{84}{13}
 Найдем длину медианы  BM=\frac{\sqrt{2*KB^2+2*BC^2-CK^2}}{2}\\
BM=\frac{24\sqrt{14}}{13} S_{ABT}=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184} *0.5*\frac{35\sqrt{3}}{46}*
Угол TMC=arccos( - \frac{35}{92\sqrt{3}}) (это когда находя угол  BMC, затем отнимая от \pi-BMC-a
 Из треугольника TMC , по теореме синусов 
TC=\frac{\sqrt{1-(\frac{35}{92\sqrt{3}})^2}*\frac{5*\sqrt{10.5}}{13}}{sin(arccos(-\frac{59}{84})*0.5)}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}\\
AT=\sqrt{36-TC^2} = \frac{13*\sqrt{429}}{46}
 найдем  BT  по теореме косинусов так же 
BT=\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}
S_{BTC} =\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}* \frac{35\sqrt{3}}{46}*sin(\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5
S_{BTA}=sin(\frac{\pi}{2}-\frac{arccos\frac{-59}{84}}{2})*0.5*\frac{339\sqrt{14}-140\sqrt{3}*cos(0.5*cos( -\frac{59}{84}))}{184}*\frac{35\sqrt{3}}{46}
S_{CTA}=\frac{35*\sqrt{3}}{46}*\frac{13*\sqrt{429}}{46}*0.5
 суммируя  получим  
  \frac{5\sqrt{143}}{4} 
 что верно  найдя площадь самого треугольник к примеру по формуле   Герона является верным ,значит предположение было верным  MTC=MCB

Точка м - середина биссектрисы ск треугольника abс. на отрезке bm взята точка t так, что . докажите,
Точка м - середина биссектрисы ск треугольника abс. на отрезке bm взята точка t так, что . докажите,
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия