Точка М находится на расстоянии 12 см от каждой вершины квадрата ABCD, угол между прямой MA и плоскостью квадрата равна 60 °. Найдите расстояние от точки M к стороне квадрата.

Расстояние от точки М до середины стороны квадрата (апофема пирамиды МАВСD) ≈ 11 см

Объяснение:

Дано:

Квадрат АВСD

MA = МВ = МС = MD = 12 см

α = 60°

MАВСD - правильная четырёхугольная пирамида

Найти:

Апофему А  пирамиды

Опустим перпендикуляр из точки М на основание АВСD. Он пересечёт основание в точке О.  МО - высота пирамиды.  ОА - проекция бокового ребра МА пирамиды на основание, поэтому заданный в условии угол α = 60° - угол между боковым ребром МА и его проекцией ОА.

В прямоугольном треугольнике МАО (∠МОА = 90°) найдём катеты ОА и МО

МО = МА · sin α = 12 · sin α = 12 · 0,5√3 = 6√3 (см)

OA = MA · cos α = 12 · cos 60° = 12 · 0.5 = 6 (см)

ОА является половиной диагонали квадрата АВСD.

Сторона квадрата а = 2АО : √2 = 12 : √2 = 6√2 (cм)

Апофему пирамиды найдём, используя теорему Пифагора

А² = МО² + (0,5а)² =  (6√3)² + (0,5 · 6√2)² = 108 + 18 = 126 (cм²)

А ≈ 11,22 см