Точка дотику кола вписаного в прямокутну трапецію, ділить її більшу бічну сторону на відрізки 12 см і 3 см. Знайдіть площу трапеції.

ответ: S=162см²

Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д, точки касания К М Е Т,ма центр окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности поэтому отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому АК=ВМ, МС=СЕ, ЕД=ДТ, АК=АТ. Проведём из вершины С высоту ВН к основанию АД. Она делит нижнее основание так что АН= ВС. Проведём через центр окружности диаметр МТ. Получился прямоугольник, в котором МС=ТН=3см. Так как ТД=ЕД=12см, то ДН=ТД-ТН=12-3=9см. ДН=9см. Рассмотрим полученный ∆СДН. Он прямоугольный. В нём СН и ДН являются катетами а СД - гипотенузой. СД=СЕ+ЕД=3+12=15см Найдём катет СН по теореме Пифагора: СН²=СД²-ДН²=

=15²-9²=225-81=144; СН=√144=12см

СН=12см. СН также является диаметром вписанной окружности, поэтому АК=ВК=ВМ=АТ=12÷2=6см. Следовательно ВС=6+3=9см;

АД=6+12=18см. Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания по формуле:

S=(BC+АД)/2×СН=(9+18)/2×12=27/2×12=

=27×6=162см²