Тема "прямые и плоскости" аналитическая

Даны уравнения прямых:   (x + 5)/4 =(y - 5)/(-3) = (z - 5)/(-5), вторая прямая задана как линия пересечения плоскостей x + 4y - z - 13 = 0

2x + 6y - z - 17 = 0.

Преобразуем уравнение второй линии.

В качестве опорной точки берём точку, лежащую в плоскости Oyz, то есть задаём значение x = 0.

4y - z - 13 = 0,

6y - z - 17 = 0.  

Вычтем из второго уравнения первое: 2y - 4 = 0,  y = 4/2 = 2.

z = 4y - 13 = 4*2 - 13 = -5.

Получили точку на прямой (0; 2; -5).

Теперь найдём направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов плоскостей (это коэффициенты в уравнениях плоскостей: (1; 4; -1) и (2; 6; -1)).

 i         j       k |       i        j

 1       4       -1 |      1        4

2       6       -1 |      2       6    =   -4i - 2j + 6k + 1j + 6i - 8k = 2i - 1j - 2k.

Нашли направляющий вектор (2; -1; -2).

Получаем каноническое уравнение прямой по точке (0; 2; -5) и направляющему вектору:  (2; -1; -2).

x/2 = (y - 2)/(-1) = (z + 5)/(-2).

Преобразуем канонические уравнения прямых в  параметрические:

Первая прямая  (x + 5)/4 =(y - 5)/(-3) = (z - 5)/(-5)

x = 4t - 5,

y = -3t + 5,

z = -5t + 5.

Вторая прямая x/2 = (y - 2)/(-1) = (z + 5)/(-2).)

x = 2s,

y = -1s + 2,

z = -2s - 5.

Примем точку Н1 как точку пересечения первой заданной прямой и общего перпендикуляра.

Её координатам  соответствует вполне конкретное значение параметра, обозначим его через to . Тогда координаты точки запишутся в виде:

x = 4to - 5,

y = -3to + 5,

z = -5to + 5.

Аналогично для точки Н2 получим:

x = 2so,

y = -1so + 2,

z = -2so - 5.

Находим вектор Н1Н2 по двум  определениям.

Н1Н2 = p  как результат векторного произведения направляющих векторов заданных прямых (4; -3; -5) и (2; -1; -2) (ведь он перпендикулярен обеим прямым).

i        j       k |       i        j

4     -3     -5 |      4      -3

2     -1     -2 |      2       -1  =    6i - 10j - 4k + 8j - 5i + 6k = 1i - 2j + 2k.

p = (1; -2; 2).

С другой стороны, вектор Н1Н2 проходит через 2 точки, координаты которых заданы выше.

Н1Н2: (2so - 4to + 5; -1so + 2 + 3to - 5; -2so - 5 + 5to - 5)

        = (2so - 4to + 5; -1so  + 3to - 3; -2so + 5to - 10).

Поскольку направляющие векторы  коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»:

(2so - 4to + 5; -1so  + 3to - 3; -2so + 5to - 10) = λ(1; -2; 2).

Или покоординатно:

2so - 4to + 5 = λ*1;

-1so + 3to - 3 = λ*(-2);

-2so + 5to - 10 = λ*2.

Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера.

so     to      λ    B  

2 -4 1 -5 Определитель  9

-1 3 -2 3  

-2 5 2 10  

Заменяем 1-й столбец на вектор результатов B:    

-5 -4 1  

3 3 -2  Определитель  9

10 5 2  

Заменяем 2-й столбец на вектор результатов B:    

2 -5 1  

-1 3 -2  Определитель  18

-2 10 2  

Заменяем 3-й столбец на вектор результатов B:    

2 -4 -5  

-1 3 3  Определитель 9

-2 5 10  

so = 9/ 9 = 1,  

to = 18/ 9 = 2,  

λ = 9/ 9 = 1.  

Отсюда находим координаты точек.

H1: x = 4*2 - 5 = 3,

     y = -3*2 + 5 = -1,

     z = -5*2 + 5 = -5.

  Точка Н1(3; -1; -5).

Н2: x = 2*1 = 2,

      y = -1*1 + 2 = 1,

      z = -2*1 - 5 = -7.

Точка Н2(2; 1; -7).  Точка Н1(3; -1; -5).

 Вектор Н1Н2 = (2-3=-1; 1-(-1)=2; -7-(-5)=-2) = (-1; 2; -2)

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0

Подставим данные и упростим выражение:

(-1) x - 3  + 2 y - (-1)  + (-2) z - (-5)  = 0

 - x + 2y - 2z - 5 = 0