Сумма двух утлов ромба равна 120°, а его периметр равен 84. Найдите длину
меньшей диагонали ромба.​

Для решения этой задачи мы будем использовать знание о свойствах ромба.

По определению ромба, все его углы равны между собой. Обозначим сторону ромба через "а".

Так как сумма двух утлов ромба равна 120°, значит каждый угол у ромба равен 60°.

Теперь мы можем найти длину большей диагонали ромба, используя теорему косинусов для треугольника.

Для этого обратимся к одному из треугольников, образованных диагоналями ромба.

Для удобства, обозначим вершину ромба, через которую проходят диагонали, буквой "О".

Также обозначим точку, где большая диагональ пересекает сторону ромба, буквой "В".

И, наконец, обозначим точку, где меньшая диагональ пересекает сторону ромба, буквой "С".

Три стороны треугольника "ОВС" являются сторонами ромба.

Угол "О" равен 60°.

Сторона "ОВ" равна "а", сторона "ВС" равна "а", а сторона "СО" равна диагонали (диагональ ромба).

По теореме косинусов для треугольника, квадрат диагонали равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Поэтому, длина большей диагонали "р" равна:

р² = а² + а² - 2а * а * cos(60°).

р² = 2а² - 2а² * cos(60°).

Вспомним, что cos(60°) = 1/2.

Подставим это значение:

р² = 2а² - 2а² * (1/2).

р² = 2а² - а².

Дальше мы можем найти длину меньшей диагонали, используя свойство ромба: длины его диагоналей равны между собой.

То есть, длина меньшей диагонали равна длине большей диагонали "р".

Тогда, чтобы найти длину меньшей диагонали, нам нужно найти квадратный корень из "р²".

Итак, длина меньшей диагонали ромба равна:

корень из (2а² - а²).

Теперь, чтобы найти значение "а" (длину стороны ромба), мы можем использовать информацию о периметре ромба, который равен 84.

Периметр равен сумме длин всех сторон ромба.

В нашем случае, ромб имеет 4 одинаковые стороны, поэтому каждая из них равна "а".

4а = 84.

Теперь можем найти значение "а":

а = 84 / 4.

а = 21.

Теперь, найдем длину меньшей диагонали ромба, подставив значение "а" в нашу формулу:

корень из (2 * (21)² - (21)²).

корень из (2 * 441 - 441).

корень из (882 - 441).

корень из 441.

Меньшая диагональ ромба равна 21.

Таким образом, длина меньшей диагонали ромба равна 21.