Стереометрия. Найти углы между прямыми

Объяснение:

По корректировке автора в коментах  ABCDA₁B₁C₁D₁-куб.

Введу обозначение. (AB)-вектор AB.

Расположим данные кубы в системе координат, единичный отрезок равен ребру куба.

Точка B-начало координат, A∈Ox, C∈Oy, B₁∈Oz

Будем находить углы используя формулу для угла между векторами.

Учитывая, что при α>90° переходим к углу 180°-α

A(1; 0; 0), B(0; 0; 0); C(0; 1; 0); D(1; 1; 0), A₁(1; 0; 1), B₁(0; 0; 1); C₁(0; 1; 1); D₁(1; 1; 1)

Показанные координаты точек во все шести заданиях неизменны.

Будем только находить координаты точек M и N. Во всех заданиях данные точки(если они присутствуют) являются серединами рёбер. Будем использовать для нахождения их координат известную формулу середины отрезка:

M∈AB, AM=BM, A(a;b;c), B(d;e;f), M(x;y;z)⇒x=(a+d)/2; y=(b+e)/2; z=(c+f)/2

1) M∈AD, AM=DM, A(1; 0; 0), D(1; 1; 0)⇒M(1; 0,5; 0)

N∈B₁C₁, B₁N=C₁N, B₁(0; 0; 1); C₁(0; 1; 1)⇒N(0; 0,5; 1)

(BA₁)={1;0;1}; (MN)={-1; 0; 1}

(BA₁)·(MN)=1·(-1)+0·0+1·1=0⇒(BA₁)⊥(MN)⇒BA₁^MN=(BA₁)^(MN)=90°

Можно было решить другим . Достроим AB₁.

BA₁⊥AB₁⇒BA₁^AB₁=90°

B₁N=0,5B₁C₁=0,5AD=AM;  B₁N║AM⇒AB₁NM-параллелограмм ⇒MN║AB₁⇒MN^BA₁=BA₁^AB₁=90°

Но будем придерживаться 1-го .

2)  M∈A₁B₁, A₁M=B₁M, A₁(1; 0; 1), B₁(0; 0; 1)⇒M(0,5; 0; 1)

N∈AD, AN=DN, A(1; 0; 0), D(1; 1; 0)⇒N(1; 0,5; 0)

(CD₁)={1;0;1}; (NM)={-0,5; -0,5; 1}

|CD₁|=√(1²+0²+1²)=√2; |NM|=√((-0,5)²+(-0,5)²+1²)=√1,5

(CD₁)·(NM)=1·(-0,5)+0·(-0,5)+1·1=0,5

cos((CD₁)^(NM))=(CD₁)·(NM)/(|CD₁|·|NM|)=0,5/(√2√1,5)=√3/6

⇒CD₁^NM=(CD₁)^(NM)=arccos(√3/6)

Дальше всё так же