Срешением, . в основании призмы авса1в1с1 лежит равнобедренный треугольник авс (ав=ас, угол вас = 2 альфа). вершина а1 верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, описанной около нижнего основания. боковое ребро аа1 образует со стороной основания ав угол, равны 2 альфа. найти объем призмы.

Введем обозначения на нижнем основании призмы: ΔАВС, проекция точки А1 на нижнее основание - точка О; АК ⊥ ВС; О∈ АК.
ВС=2R·sin 2α;
OR=0.5BC=R·sin 2α/
OK=√(OC²-OK²)=√(R²-R²sin²2α)=Rcos2α.
AK=OA+OK=R+Rcos2α.
Площадь основания призмы: S=0,5·BC·AK=0,5·2Rsin2α·(R+Rcos2α)=
=Rsin2α·(R+Rcos2α).
ΔAOA1.  tg2α=OA1/OA;   OA1=R·tg2α. ОА1-высота призмы.
V=S·OA1=Rsin2α·(R+Rcos2α)·R·tg2α.
ответ: R³tg2α·sin2α(1+cos2α).