Составь математическую модель по словесной:

сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 км ,
а его гипотенуза равна 13 км . Найди площадь треугольника.

Выбери подходящую математическую модель, обозначив длину одного катета как a км , а другого — b км :
​

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. В начале, давайте разберемся с данными, которые у нас есть.

Мы знаем, что сумма катетов прямоугольного треугольника равна 17 км и гипотенуза равна 13 км. Здесь катеты обозначаются как a и b, а гипотенуза обозначается как c.

2. Зная эти данные, мы можем записать математическую модель для данной задачи.

Мы знаем, что сумма длин катетов равна 17 км, поэтому мы можем записать уравнение:

a + b = 17

Также, мы знаем, что гипотенуза равна 13 км, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы написать уравнение:

a^2 + b^2 = c^2

В данном случае, c равно 13, поэтому у нас получается:

a^2 + b^2 = 13^2
a^2 + b^2 = 169

3. У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и b), чтобы решить эту систему уравнений, мы можем использовать метод подстановки или метод сложения.

Мы можем решить первое уравнение относительно одной из переменных. Давайте решим его относительно b:

b = 17 - a

4. Теперь, заменим значение b во втором уравнении:

a^2 + (17 - a)^2 = 169

5. Раскроем скобки:

a^2 + 289 - 34a + a^2 = 169

6. Упростим уравнение:

2a^2 - 34a + 120 = 0

7. Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать методы факторизации или квадратного корня. Но так как это уравнение факторизуется, мы можем использовать метод факторизации:

(2a - 10)(a - 12) = 0

8. Разложим полученное уравнение на два отдельных уравнения:

2a - 10 = 0 или a - 12 = 0

9. Решим каждое уравнение:

2a - 10 = 0 или a - 12 = 0
2a = 10 или a = 12
a = 5 или a = 12

10. Теперь, мы можем использовать значения a для определения значений b:

Если a = 5, то
b = 17 - a
b = 17 - 5
b = 12

Если a = 12, то
b = 17 - a
b = 17 - 12
b = 5

11. Таким образом, у нас есть два возможных варианта для длины катетов: a = 5, b = 12 и a = 12, b = 5.

12. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади прямоугольного треугольника:

Площадь = (a * b) / 2

Давайте посчитаем площадь для каждого набора значений катетов:

- При a = 5 и b = 12:
Площадь = (5 * 12) / 2 = 30 квадратных километров

- При a = 12 и b = 5:
Площадь = (12 * 5) / 2 = 30 квадратных километров

Таким образом, площадь треугольника равна 30 квадратных километров.

Надеюсь, это помогло вам понять, как составить математическую модель для данной задачи и решить ее.