Шар касается всех сторон правильного треугольника. если расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно 2, радиус шара равен 3, чему равна сторона треугольника?

Сечение шара плоскостью всегда круг. Причем радиус сечения, радиус шара и расстояние от центра шара до плоскости сечения образуют прямоугольный треугольник.

В данном случае сечением шара плоскостью треугольника будет вписанный в треугольник круг. Радиус его находится из теоремы Пифагора

r^2 = 3^2 - 2^2 = 5;

Теперь по известному радиусу вписанной окружности надо найти сторону. Тут куча вот один из них : площадь правильного треугольника равна

S = (1/2)*a^2*sin(60) = (1/2)*(3*a)*r;

Отсюда

a = 3*r/sin(60) = 3*корень(5)/(корень(3)/2);

а = 2*корень(15);