Самостоятельная работа по теме "Признаки подобия треугольников" (8 класс)

I вариант:

1. Даны треугольники АВС и МКР такие, что < В = < М = 90, АВ = 4, МК = 8, ВС= 5, МР = 10. Докажите, что данные треугольники подобны.

2. Площади двух подобных треугольников равны 25 и 16. Найдите сторону одного треугольника, если сходственная ей сторона другого треугольника равна 8.

3. Дана трапеция АВСД. Продолжение боковых сторон АВ и СД пересекаются в точке К, причем, ВС = 2, АД =5, КА = 25. Чему равно отношение площадей треугольников СКВ и ДКА и длина отрезка КВ.

II вариант:

1. Даны треугольники АВС и МКР такие, что < А = 50, < С = 60, < Р = 60, < К = 70. Докажите, что данные треугольники подобны.

2. Найдите площадь одного из подобных треугольников, если площадь второго равна 8, а две сходственные стороны равны 5 и 2.

3. Отрезки АВ и СД пересекаются в точке К так, что АК = 12, ВК = 4, СК = 30, ДК = 10. Найдите величину < КАС и отношение площадей треугольников АКС и ВКД, если < КВД = 61.

I вариант:

1. Для доказательства подобия треугольников АВС и МКР, мы должны проверить выполнение всех трех признаков подобия треугольников: угловой, сторонний и стороно-угловой признаки.

- Угловой признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют два угла, одинаковых по мере (угол В и угол М, одинаковым по мере), а также прямой угол (90 градусов) в обоих треугольниках. Следовательно, выполнен угловой признак подобия треугольников.

- Сторонний признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют пропорциональные стороны. Зная, что АВ = 4, ВС = 5 и МК = 8, МР = 10, можем составить пропорцию:
АВ/МК = ВС/МР
4/8 = 5/10
1/2 = 1/2
Следовательно, выполнен сторонний признак подобия треугольников.

- Стороно-угловой признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют одну равную сторону и равные углы при этой стороне. Угол АВС равен углу МКР, а сторона АВ равна стороне МК. Это также является признаком подобия треугольников.

Таким образом, треугольники АВС и МКР подобны.

2. Для нахождения стороны одного треугольника, если известно, что сходственная ей сторона другого треугольника равна 8, мы должны использовать свойство пропорциональности площадей подобных треугольников.

Пусть А и Б - стороны треугольников, площади которых равны 25 и 16 соответственно. Тогда пропорция площадей будет следующей:
(А/Б)^2 = 25/16
А/Б = √(25/16)
А/Б = 5/4

Если сходственная сторона равна 8, мы можем установить пропорцию:
А/8 = 5/4
4А = 40
А = 10

Следовательно, сторона одного треугольника равна 10.

3. Чтобы найти отношение площадей треугольников СКВ и ДКА, а также длину отрезка КВ, мы воспользуемся свойством отношения площадей подобных треугольников и свойством параллельных линий.

По свойству параллельных линий имеем, что отрезки КВ и АД поперечные и выделяют два параллельных треугольника: треугольник КВС и треугольник ДКА.

Из задания известно, что ВС = 2, АД = 5 и КА = 25. Для нахождения отношения площадей треугольников СКВ и ДКА воспользуемся свойством отношения площадей подобных треугольников и пропорциональностью сторон.

Сначала найдем длину отрезка КВ. Можем записать пропорцию:
ВС/КА = КВ/АД
2/25 = КВ/5
КВ = (2*5)/25
КВ = 2/5

Теперь найдем отношение площадей треугольников СКВ и ДКА. Мы знаем, что площади треугольников пропорциональны квадратам длины их одинаковых сторон. Пусть S1 и S2 - площади треугольников СКВ и ДКА соответственно.

Тогда отношение площадей будет:
S1/S2 = (CK/CД)^2
S1/S2 = (2/5)^2
S1/S2 = 4/25

Таким образом, отношение площадей треугольников СКВ и ДКА равно 4/25, а длина отрезка КВ равна 2/5.

II вариант:

1. По аналогии с предыдущим вопросом, для доказательства подобия треугольников АВС и МКР, мы должны проверить выполнение всех трех признаков подобия треугольников: угловой, сторонний и стороно-угловой признаки.

- Угловой признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют три угла, одинаковых по мере (угол А, угол С и угол Р, одинаковым по мере), а также одинаковые намерения (угол К). Следовательно, выполнен угловой признак подобия треугольников.

- Сторонний признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют пропорциональные стороны. Угол АВС равен углу МКР, а сторона АВ имеет пропорциональную сторону МК. Также угол С равен углу Р, а сторона ВС имеет пропорциональную сторону МР. Это также является признаком подобия треугольников.

- Стороно-угловой признак подобия треугольников: Треугольники АВС и МКР имеют одну равную сторону и равные углы при этой стороне. Угол А равен углу М, а сторона АВ равна стороне МК. Это также является признаком подобия треугольников.

Таким образом, треугольники АВС и МКР подобны.

2. Для нахождения площади одного из подобных треугольников, если известно, что площадь второго треугольника равна 8, а две сходственные стороны равны 5 и 2, мы также должны использовать свойство пропорциональности площадей подобных треугольников.

Пусть А и Б - площади треугольников, а X и Y - сходственные стороны треугольников АВС и МКР соответственно. Тогда пропорция площадей будет следующей:
А/Б = X^2/Y^2
А/8 = 5^2/2^2
А/8 = 25/4
А = (8*25)/4
А = 200/4
А = 50

Следовательно, площадь одного из подобных треугольников равна 50.

3. Чтобы найти величину угла КАС и отношение площадей треугольников АКС и ВКД, если угол КВД равен 61 градус, мы снова воспользуемся свойством отношения площадей подобных треугольников.

По условию известно, что АК = 12, ВК = 4, СК = 30 и ДК = 10.

Сначала найдем величину угла КАС. Поскольку треугольники АКС и ВКД являются подобными и угол КВД равен 61 градус, угол КАС также будет равен 61 градус.

Теперь найдем отношение площадей треугольников АКС и ВКД. Мы знаем, что площади треугольников пропорциональны квадратам длины их одинаковых сторон. Пусть S1 и S2 - площади треугольников АКС и ВКД соответственно.

Тогда отношение площадей будет:
S1/S2 = (AK/ВK)^2
S1/S2 = (12/4)^2
S1/S2 = 3^2
S1/S2 = 9

Таким образом, отношение площадей треугольников АКС и ВКД равно 9, а угол КАС равен 61 градус.