Ромбі зі стороною 10√3 см і кутом 120° через вершину тупого кута проведена площина на відстані 3√3 см від усіх точок його більшої діагоналі. Знайдіть довжини проекцій діагоналей ромба на цю площину.

За теоремою Піфагора діагональ ромба дорівнює 20 см. Площина, проведена на відстані 3√3 см від усіх точок більшої діагоналі, проходить через центр ромба і перпендикулярна до більшої діагоналі.

Таким чином, проекції діагоналей ромба на цю площину будуть відрізками, що з'єднують центр ромба з серединами сторін ромба. Оскільки кут між стороною ромба і його діагоналлю дорівнює 60°, то за теоремою косинусів можна знайти довжину відрізка, що з'єднує центр ромба з серединою сторони:

a = √(10√3² + (10/2)² - 2*10√3*(10/2)*cos60°) = √(300 - 150) = √150 = 5√6 см

Таким чином, проекції діагоналей ромба на площину, проведену на відстані 3√3 см від усіх точок більшої діагоналі, мають довжину 2a, тобто:

2a = 10√6 см.