Решите контрольную! Контрольная работа № 3

Тема. Теорема Фалеса. Подобие треугольников.

Вариант 1
1)Стороны угла М пересекают параллельные прямые АВ и CD, (точка А между М и С) MA=12 см, А С=4 см, BD=6 см. Найдите отрезок МВ.
2)Треугольники АВС и А1 В1 С1 подобны, причем сторонам АВ и ВС соответствуют стороны А1 В1 и В1 С1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников, если АВ=8 см, ВС=10 см, А1 В1 =4 см, А1 С1=6 см.
3)Отрезок АК – биссектриса треугольника АВС, АВ=12 см, ВК=8 см, СК=18 см. Найдите сторону АС.
4)На стороне ВС треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ : МС= 2:9. Через точку М провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону АВ в точке К. Найдите сторону АС, если МК =18 см.
5)В трапеции АВСD с основаниями АD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС : АD = 3:5, ВD=24 см. Найдите отрезки ВО и ОD.
6)Через точку М, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиусом 17 см, проведена хорда, которая делится точкой М на отрезки, длины которых относятся как 1:4. Найдите длину этой хорды.

Добрый день!

Для решения контрольной работы, давайте по порядку рассмотрим каждый вопрос:

1) Задача говорит о треугольнике МАВ и МСD, где АВ и CD - параллельные прямые, а М - точка пересечения сторон этих углов.
У нас даны следующие значения: MA=12 см, АС=4 см, BD=6 см, и нужно найти отрезок МВ.
Здесь может помочь теорема Фалеса, которая гласит: если прямая параллельна одной из сторон треугольника и пересекает две другие стороны, то она делит эти стороны пополам (или в соответствующем отношении).
Поэтому, так как стороны МА и МС пересекаются прямой АВ, мы можем применить данную теорему для нахождения отрезка МВ.
Составим пропорцию МВ/ВD = МА/АС и подставим известные значения: МВ/6 = 12/4.
Решим эту пропорцию: МВ = 6 * (12/4) = 6 * 3 = 18 см.
Таким образом, отрезок МВ равен 18 см.

2) В данной задаче есть два подобных треугольника: АВС и А1В1С1. Стороны АВ и ВС соответствуют сторонам А1В1 и В1С1.
У нас даны следующие значения: АВ=8 см, ВС=10 см, А1В1=4 см, А1С1=6 см.
Мы должны найти неизвестные стороны треугольников.
Здесь мы можем использовать свойство подобных треугольников, которое гласит: соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны.
Составим пропорции:
АВ/А1В1 = ВС/В1С1 = СА/С1А1 (параллельные стороны)
8/4 = 10/6 = СА/С1А1
Решим данную пропорцию: 2 = 5/3 = СА/С1А1
Чтобы решить эту пропорцию, мы можем использовать метод "перемножения" дополняющих дробей. Получится:
2 = (5 * СА) / (3 * С1А1)
2 = (5/3) * (СА/ С1А1)
(СА/ С1А1) = 2 * (3/5)
(СА/ С1А1) = 6/5
Таким образом, СА/С1А1 = 6/5.
Исходя из этого, мы можем найти значения неизвестных сторон треугольников:
СА = (6/5) * А1С1 = (6/5) * 6 = 36/5 = 7.2 см
C1А1 = (5/6) * СА = (5/6) * 7.2 = 6 см
Получается, что сторона АС равна 7.2 см, а сторона А1С1 равна 6 см.

3) В третьей задаче задан треугольник АВС с биссектрисой АК, где АВ = 12 см, ВК = 8 см, СК = 18 см. Нужно найти значение стороны АС.
Для решения задачи, мы можем воспользоваться теоремой Фалеса.
Так как отрезок AK является биссектрисой треугольника, то он разделяет сторону ВС на две равные части: ВК и КС.
Мы можем составить пропорцию: КС/ВС = АК/АВ. Подставим известные значения: КС/ВС = 8/12.
Решим эту пропорцию: КС = (8/12) * ВС = (8/12) * 12 = 8 см.
Таким образом, сторона АС равна 8 см.

4) В этой задаче нам дан треугольник АВС и точка М на стороне ВС такая, что ВМ : МС = 2:9. Также, через точку М проведена прямая, которая параллельна стороне АС и пересекает сторону АВ в точке К. Задача заключается в нахождении стороны АС, если МК = 18 см.
Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства подобных треугольников и теорему Фалеса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВМС, где угол МВС прямой. Так как ВМ : МС = 2:9, то мы можем сказать, что ВМ составляет 2/11 от стороны ВС, а МС - 9/11 от стороны ВС.
Обозначим сторону ВС как Х. Тогда ВМ = (2/11) * Х и МС = (9/11) * Х.
Теперь рассмотрим треугольник АКМ и треугольник АВС.
АК является биссектрисой треугольника АВС, поэтому он делит сторону ВС на две равные части: ВК и КС.
Так как прямая, проходящая через точку М, параллельна стороне АС, то отношение сторон ВК:КС такое же, как отношение сторон ВМ:МС.
То есть, ВК:КС = ВМ:МС = 2/11:9/11 = 2:9
Мы знаем, что ВК + КС = Х (по дополнению) и имеем следующее уравнение:
(2/9) * Х + (9/11) * Х = Х
((2/9) + (9/11)) * Х = Х
(22/99) * Х = Х
22 * Х = 99 * Х
22 - 99 = Х - Х
21 * Х = 0
Х = 0 (Некорректный ответ, так как это невозможно)
Получается, что для заданных условий решения нет.

5) В этой задаче у нас есть трапеция АВСD с основаниями АD и ВС, и диагонали пересекаются в точке О. Задача заключается в нахождении отрезков ВО и ОD, если ВС : АD = 3:5 и ВD = 24 см.
Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему Фалеса и свойства подобных треугольников.
Так как трапеция имеет параллельные основания, мы можем сказать, что стороны ВС и АD пропорциональны.
Составим пропорцию: ВС/AD = ВО/ОD.
Подставим известные значения: 3/5 = ВО/ОD.
Решим эту пропорцию: 3 * ОD = 5 * ВО.
Теперь нам нужно найти значения ВО и ОD, где ВD = 24 см.
Используя пропорцию, мы можем выразить ВО через ОD: ВО = (3/5) * ОD.
Теперь мы знаем, что ВО + ОD = ВD = 24 см.
Подставим выражение для ВО в уравнение: (3/5) * ОD + ОD = 24.
Сначала преобразуем уравнение: (3/5 + 1) * ОD = 24.
Упростим: (8/5) * ОD = 24.
Теперь решим это уравнение: ОD = (24 * 5) / 8 = 30 см.
Тогда ВО = (3/5) * 30 = 18 см.
Итак, отрезок ВО равен 18 см, а отрезок ОD равен 30 см.

6) В последней задаче есть окружность с центром и радиусом, а также точка М, которая находится на расстоянии 15 см от центра окружности и хорда, которая делится точкой М на отрезки, длины которых относятся как 1:4. Задача состоит в нахождении длины этой хорды.
Для решения этой задачи, мы можем использовать свойства окружности и пропорциональность отрезков хорды.
Известно, что точка М находится на расстоянии 15 см от центра окружности. Используя это свойство, мы можем найти длину одного из отрезков хорды.
Пусть один из отрезков будет равен х см. Тогда второй отрезок (длинной 4 раза больше) будет равен 4х см.
Так как отношение длин этих отрезков составляет 1:4, мы можем составить пропорцию: х/4х = 15/17.
Решим эту пропорцию: 1/4 = 15/17.
Преобразуем: 17 = 4 * 15.
Упростим: 17 = 60.
Данные значения не согласуются, поэтому задача не имеет решения.

Надеюсь, я помог вам разобраться с задачами. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их!