Решите , . даны координаты точек а(1; 3) b(4; 1),c (3; -2) найдите угол между медианой ад и высотой ае

Task/25937020

1.
Определяем координаты точки  D (середина отрезка CB) :
X(D) = ( X(C) +X(B) ) /2 =(3+4) /2 = 3,5 ;
Y(D) = ( Y(C) +Y(B) ) /2 =(-2 +1) /2 = - 1,5.
D(3,5 ; - 0,5) .
2.
 Уравнение прямой CB  :
* * * y -y₁=k(x -x₁) , k =(y₂ -y₁) / (x₂ -x₁) _ угловой коэффициент    * * *
 k = (1 -(-2))/ (4 -3) =3/1 =3
у - (-2) = 3(x -3) ⇔ y = 3x  -11.  
* * * 3x - y -11 =0 ⇔ (3x - y -11) /√(3² + (-1)² )=0 ⇔(3x - y -11) /√10=0 ⇔
(3/√10)*x -(1/√10) *y -11/√10 = 0→нормальное . уравнение прямой; здесь
можно вычислить расстояние от точки  A(1 ; 3)  до прямой СВ ,         т.е.   высоту AE : AE = |3*1 -3 -11| /√10 =11 /√10=1,1√10 .   * * * 
3 ₋.   
Уравнение прямой AE  :
AE ⊥  CB  ⇒  k₁*k = -1 ,   k₁  = -1/3 ( угловой коэффициент  прямой  AE)
y -3 = -1/3(x-1) ⇔ y = (-1/3)x +10/3 .
4 ₋. 
Определяем координаты точки E( основание высоты ) _пересечение двух
прямых :
{ y =3x -11 ;                { x =4,3 
{ y = (-1/3)x +10/3      { y =1, 9                   E( 4,3 ; 1,9)
5 .   
Если  не проходили скалярное произведение векторов, то из ΔAED :
cosφ = AE / AD  =√( (4,3,-1)² +(1,9 -3)²)  / √( (3,5,-1)² +(-0,5  -3)²) 
=(1,1√10 ) / √ 18,5 = 1,1*√10*√10/√ 18,5 *√10 = 11/√185. 
φ =arcCos(11/√185) ≈ arccos( 0,809). 
 
 ответ:  φ =arcCos(11/√185)   * * * По таблице косинусов  ↔φ =36° * * * 

Найдем координаты точки D (медианы стороны ВС):
Xd=(3+4)/2=3,5.
Yd=(1-2)/2=-0,5.
D(3,5;-0,5). Вектор AD{Xd-Xa;Yd-Ya} или AD{2,5;-3,5}.
Модуль вектора |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5.
Уравнение прямой ВС:
(X-Xb)/(Xc-Xb)=(Y-Yb)/(Yc-Yb) или
(X-4)/(-1)=(Y-1)/(-3) - каноническое уравнение.
Уравнение прямой ВС в общем виде Ax+By+C=0:
3х-y-11=0, где А=3, В=-1, С=-11.
Вектор нормали прямой - это перпендикуляр к прямой.
Координаты вектора нормали из уравнения прямой ВС:
n={А;В}={3;-1}. Этот же вектор - направляющий вектор для прямой АЕ.
Формула для уравнения прямой, проходящей через точку А(1;3)
и имеющей направляющий вектор р{3;-1}, то есть уравнение прямой АЕ:
(X-1)/3=(Y-3)/-1 - каноническое уравнение.
х+3y-10=0 - общее уравнение прямой АЕ.
Найдем точку пересечения прямых АЕ и ВС:
Система двух уравнений:
3х-y-11=0 и х+3y-10=0. Решаем систему и имееи:
Х=4,3 и Y=1,9/ То есть точка Е(4,3;1,9).
Тогда вектор АЕ{3,3;-1,1}. Модуль вектора |AE|=√(10,89+1,21)=√12,1.
Угол между векторами AD и ВЕ:
Cosα=(Xad*Xae+Yad*Yae)/(√18,5*√12,1)≈ 12,1/14,96 ≈ 0,809.
ответ: угол между векторами равен arccos(0,809. или α≈36°.

Второй вариант:
Находим точку D(3,5;-0,5). Вектор AD{2,5;-3,5}.
Медиана (Модуль вектора) |AD|=√(6,25+12,25)=√18,5. (смотри первый вариант).
Находим площадь треугольника по координатам его вершин по формуле
(по формуле Герона, когда стороны - сплошные корни не хочется решать):
S=(1/2)|(Xa-Xc)*(Yb-Yc)-(Xb-Xc)(Ya-Yc)| или в нашем случае:
S=(1/2)|(1-3)*(1+2)-(4-3)(3+2)|= 5,5.
Находим длину стороны ВС:
|BC|=√[(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²] или BC=√[(-1)²+(-3)²] =√10.
Тогда высота треугольника АЕ=2*S/ВС= 11√10/10.
Угол между высотой АЕ и медианой AD определяем по косинусу угла <DAE в прямоугольном треугольнике АDE:
Cos(<DAE)=AD/AE или Cos(<DAE)=11√10/(10*√18,5) =11√185/185 ≈ 0,809.
ответ: угол равен arccos(0,809) или <DAE≈36°.