Решить. в ромб с острым углом 30° вписан круг, а в круг вписан квадрат. найти отношение площади ромба к площади квадрата.

В ромб ABCD с острым углом A=30° вписан круг c центром О, а в круг вписан квадрат. 
Пусть К, L, M, N - точки касания окружности и сторон ромба. ОК перпендикулярен к стороне АВ, также и ОL к ВС, ОМ к CD, ОN к AD . 
ΔАОВ и ΔОКВ подобны, т.к. в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному. Значит КО/ОВ=АО/АВ
Обозначим КО=ОL=ОМ=ОN=r. a AB=BC=CD=AD=a
r/a*sin15=a*cos15/a
r=a*sin 15*cos15=a/2*sin 30=a/4
Диаметр окружности является диагональю вписанного в окружность квадрата со стороной b:
2b²=(2r)²
b=r√2=a√2/4
Формула  площади  ромба  Sp=a²*sin α=a² sin 30=a²/2
Формула  площади  квадрата Sк=b²=(a√2/4)²=a²/8
Отношение площадей Sр/Sк=а²/2 : а²/8=4
ответ: 4