Решить по точки а(-1,2), в(1,-2), с(7,2). найти основание биссектрисы ак и ее длину

Ответы

larionxam 23.06.2020 05:44

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.
$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC};$
$AB= \sqrt{4+16}= \sqrt{20}=2 \sqrt{5};$
$AC= \sqrt{64+0}= \sqrt{64}=8;$
$\frac{BK}{KC}= \frac{ 2\sqrt{5}}{8}=\frac{ \sqrt{5}}{4};$
координаты точки K, которая делит отрезок BC в отношении λ, выражаются формулами:
$x_K= \frac{x_B+ \lambda x_C}{1+ \lambda};y_K= \frac{y_B+ \lambda y_C}{1+ \lambda};$
$\lambda= \frac{ \sqrt{5}}{4}; x_K= \frac{1+ 7*\frac{ \sqrt{5}}{4}}{1+ \frac{ \sqrt{5}}{4}};y_K= \frac{-2+ 2*\frac{ \sqrt{5}}{4}}{1+ \frac{ \sqrt{5}}{4}};$
$x_K= \frac{4+ 7\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}=\frac{(4+ 7\sqrt{5})(4-\sqrt{5})}{(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5})}=\frac{16+28\sqrt{5}-35-4\sqrt{5}}{11}= \frac{24\sqrt{5}-19}{11};$
$y_K= \frac{-8+ 2 \sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}=\frac{(-8+ 2 \sqrt{5)}(4-\sqrt{5})}{(4+\sqrt{5})(4-\sqrt{5}}= \frac{-32+ 8 \sqrt{5}-10+8\sqrt{5}}{11}= \frac{16\sqrt{5}-42}{11};$

$AK^2=(\frac{24\sqrt{5}-19}{11}+1)^2+(\frac{16\sqrt{5}-42}{11}-2)^2=$
$=(\frac{24\sqrt{5}-8}{11})^2+(\frac{16\sqrt{5}-64}{11})^2=$
$=(\frac{8}{11})^2 (3\sqrt{5}-1)^2+ (\frac{16}{11})^2 (\sqrt{5}-4)^2=$
$=\frac{64}{121} (45-6\sqrt{5}+1)+ \frac{256}{121}(5-8\sqrt{5}+16)=$
$=\frac{64}{121} (46-6\sqrt{5})+ \frac{256}{121}(21-8\sqrt{5})=$
$=\frac{64}{121}(46-6\sqrt{5}+84-32\sqrt{5})=\frac{64}{121}(130-38\sqrt{5})$