Решить! одна из биссектрис треугольника равна 10 см и делится точкой пересечения биссектрис в отношении 3: 2, считая от вершины. найдите длину стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена.

Я вас должен огорчить. Я могу легко (вру - не легко:)) построить много треугольников по заданной биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрис. Делается это так.

Пусть р = 2/3; M = 10

Продолжим биссектрису за основание. Центр окружности радиуса M*р/(1-р^2) лежит на этой прямой на расстоянии М/(1-р^2) от ВЕРШИНЫ треугольника.

Вы можете легко проверить, что окружность пройдет через точку пересечения биссектрис, лежащую от вершины на расстоянии М/(1+р). Кроме того, для любой точки этой окружности расстояния до концов биссектрисы относятся, как p (я тут в одной задачке уже показывал это, попробуйте сами доказать).

Так вот, теперь из ВЕРШИНЫ биссектрисы проводится ПРОИЗВОЛЬНАЯ секущая к этой окружности, А ТАКЖЕ  - СИММЕТРИЧНАЯ ЕЙ относительно биссектрисы. Первая точка пересечения секущей соединяется прямой со ВТОРОЙ точкой пересечения симметричной секущей. Полученная прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пройдет через конец биссектрисы (тоже докажите!). Таким образом, у нас получился треугольник, удовлетворяющий условию задачи, и угол при вершине у него произвольный в диапазоне от нуля до максимального угла, который определяется из условия, что секущая становится касательной. Соответственно, длина основания может варьироваться от расстояния между точками касания 2 касательных (посчитайте сами, это 2*M*p/корень(1-р^2) = 8*корень(5)) до диаметра окружности (24).

Если что-то непонятно, еще раз - условию соответствует ЛЮБОЙ треугольник, построенный (по заданой биссектрисе и положению на ней точки пересечения биссектрисс который я предложил. Достаточно на построенной окружности выбрать произвольную точку, и соединить её с концом биссектрисы, принятым за вершину, провести симметричную относительно биссектрисы линию и соединить НАКРЕСТ точки пересечения - получится треугольник, удовлетворяющий условию.

Глвная тонкость в том, что такие перекрестные соединения ВСЕ пересекаются в одной точке - втором конце биссектрисы.

В понедельник пришлю чертеж.  

Чтобы понять, что решение НЕ единственно, достаточно сразу сделать предположение, что треугольник равнобедренный. Тогда решение элементарно. А теперь пусть угол при вершине равен нулю (ну, почти). Опять таки решение получается элементарно из пропорциональности отрезков на прямой. И это будут разные решения.

Можно использовать теорему косинусов и получить связь между углом при вершине Ф и длинной основания

с = cos(Ф/2)*2*М*р/(1-р^2) = cos(Ф/2)*24. При Ф = 0 как раз получится 24, но ничто не мешает взять Ф, не равное 0. Условие этому не препятствует.