Решить и постоить график: ребро куба abcda1b1c1d1 равно a.постройте сечение куба , проходящее через прямую c и середину ребра аd параллельно прямой dа1, и найдите площадь этого сечения.

Не через прямую С, а через точку С.

Смотрите как легко понять, что за сечение. Раз плоскость сечения II A1D, то и прямые, которые образуются при пересечении этой плоскостью граней AA1D1D и BB1C1C, тоже будут параллельны A1D. 

А1D лежит в плоскости AA1D1D, и указать прямую в этой плоскости II A1D, проходящую через середину AD очень легко - это прямая, проходящая через середины AD и АА1 (средняя линяя треугольника АА1D). Если обозначить M - середина AD и K - середина АА1, то это отрезок МК.

Что же касается плоскости BB1C1C, то тут еще проще - прямая II A1D и проходящая через точку С - это диагональ B1C. 

Таким образом, сечение - это равноберенная трапеция МКВ1С, причем

B1C = a*√2; МК = В1С/2 = a*√2/2; MC = KB1 = a*√5/2; (МС - гипотенуза в прямоугольном треугольнике MDC с катетами a и a/2);

Осталось найти высоту этой трепеции. 

(нарисуйте её отдельно "на плоскости", проставьте размеры)

Проще всего продлить боковые стороны до пересечения. Верхнее основание в получившемся равнобедренном треугольнике будет средней линеей, и искомая высота будет равна половине высоты этого треугольника к основанию B1C. Боковая сторона его равна 2*МС = a*√5, половина основания равна a*√2/2, и высота треугольника a*√(5 - 1/2) = a*3*√2/2; то есть высота трапеции a*3*√2/4;

Площадь МКВ1С равна S = (a*3*√2/4)*(a*√2 + a*√2/2)/2 = a^2*9/8;

Остюда получается очень интересное следствие. Дело в том, что проекцией этого сечения на ABCD является трапеция AMBC, площадь которой S1= a^2*3/4;

Поэтому, если обозначить Ф линейный угол двугранного угла между плоскостями сечения и боковой грани ABDC, то cos(Ф) = S1/S = 2/3; этот результат можно было бы получить другим путем - достаточно найти расстояние от В до МС, оно равно a*2/√5, откуда сразу расстояние от В1 до МС равно a*3/√5, и cos(Ф) =  2/3. Это было бы другим вычисления площади S, поскольку S1 считается элементарно, а S = S1/cos(Ф); попробуйте разобраться:).

расстояние м/у прямыми CC1 и BD равно (a *корень из 2)/2.

В основании куба лежит квадрат ABCD. BD - это гипотенуза прямоугольного треугольника BDC с катетами a. Она равна корень из а в квадрате плюс а в квадрате, т.е. а корней из двух. А расстояние м/у вашими прямыми будет равно АС пополам. Но так, как AC равно BD, то BD делим на 2. И получаем (а*корень из 2)/2.