Решить! диагонали ромба равны 30 см и 40 см. найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому диагонали разбиваеют ромб на 4 равных прямоугольных треугольника. R впис-ой окружности равен высоте, опущенной из вершины прямого угла умноженной на гипотенузу.

Используя т-му Пифагора найдём сторону (все стороны в ромбе равны) 

 Сторона в квадрате = 15*15+20*20 = 400 + 225 = 625

Каждая сторона ромба = корень из 625 = 25

Проведём из центра (точки О) прямую линию ОМ на сторону ромба, к примеру на АВ ( прямая должна доходить до середины стороны АВ ). Это прямая будет являться радиусом окружности!  

Треугольники АВО и АМО подобны

Если треугольники подобны, то : ОМ/ВО = ОА/АВ ОМ = АО*ОВ/АВ = 20*15/25 = 12 см

ответ 12 см 

пусть ABCD-данный ромб,AC=30.BD=40.О-точка пересечения диагоналей.

диагонали ромба в точке пересечения делятся пополпм.=>AO=CO=0.5*AC=30*0.5=15

Bo=OD=0.5*BD=0.5*40=20

диагонали ромба пересекаются под прямым углом=>по теор Пифагора: AB=корень(ao^2+bo^2)=корень(15^2+20^2)=25

полупериметр равен p=2*25=50

Sромба=1/2*ac*bd=1/2*30*40=600

Sромба=r*p(произведение полупериметра на радиус вписанной окр )

радиус вписанной окр: r=S/p=600/50=12 см

ответ:12