Разность длин оснований трапеции равна 14 см; длины боковых сторон равны 13 см и 15см. вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность.

разность длин оснований равна 14 а сумма 28 (ну, раз можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны). ПОэтому основания 21 и 7. 

Для ускорения счета (который легко можно проделать общепринятым я замечу, что трапецию можно разбить на прямоугольник с одной из сторон 7 и два прямоугольных треугольника с гипотенузами 13 и 15, одинаковым катетом и суммой других катетов, равной 14. 

Сразу видно, что речь идет о Пифагоровых треугольниках (5, 12, 13) и (9, 12, 15).

Поэтому высота трапеции равна 12. 

Если очень хочется сделать "как все" (что в данном случае правильно:)) - проведите высоты из вершин меньшего основания и запишите теоремы Пифагора для двух треугольников "по бокам". Полученная система легко решается. Решение я уже написал. 

Площадь трапеции 28*12/2 = 168.