Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности равен 10 см. найдите периметр этого треугольника и радиус вписанной окружности.

Дано: равносторонний треугольник АВС, R = 10 см
Найти: P - ?
Решение:
1. Радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника равен двум радиусам вписанной в него окружности => r = 10:2 = 5 см.
2. Если сложить два радиуса, то мы получим высоту, медиану и биссектрису треугольника одновременно, так как он равносторонний => этот отрезок равен 5 + 10 = 15.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который отсёк этот отрезок (прямоуг. т. к. высота). Одна из сторон будет равна Х, другая - 2Х (т.к. Х - половина стороны р/ст треугольника, которую отсекла медиана, являющаяся высотой)
По теореме Пифагора находим Х:
4х² - х² = 225
3х² = 225
х² = 75
х = 5√3 и х = -5√3, но этот корень не подходит по усл., а значит он посторонний
3. 5√3 - половина стороны, значит вся сторона = 10√3
Р = 3 * 10√3 = 30√3
ответ: 30√3.