Пусть p, q и r — точки пересечения биссектрис углов треугольника abc со сторонами bc, ca и ab соответственно. прямая, проходящая через точку p параллельно ab, пересекает сторону ca в точке p1. аналогично определяются точки q1 и r1. найдите сумму 1pp1+1qq1+1rr1 , если длины сторон исходного треугольника равны 4, 8 и 10.

Бисектрисса треугольника делит противоположную сторону треугольника в таком отношении, в котором делятся оставшиеся стороны, т.е. BP/PC=AB/AC=4/10. Т.к. PP1 || AC, то угол CPP1=углу CBA и угол CP1P=углу CAB (соответственные углы). Отсюда следует, что треугольник CPP1 подобен треугольнику CBA с коэффициентом подобия 10/10+4=10/14. Отсюда следует, что PP1=4*10/14=40/14. Аналогично QQ1=8*1/3=8/3. RR1=10*8/18=80/18. Отсюда следует, что 1/QQ1+1/PP1+1/RR1=14/40+3/8+18/80=28/80+30/80+18/80=76/80.