Пусть cc1,cc2,cc3 - соответственно высота, биссектриса и медиана, выходящие из вершины с треугольника abc. луч сс2 пересекает описанную около треугольника. abc окружность в точке d. докажите, что dc3 параллельна сс1.

Треугольник АВС --вписанный,
следовательно, углы AСD и DCB --вписанные и равные по условию, 
они опираются на равные дуги, которые стягивают равные хорды AD=DB
тогда треугольник ADB --равнобедренный, С3 --середина отрезка АВ по условию, следовательно, DC3 --медиана треугольника ADB, 
а т.к. он равнобедренный, то и высота)))
DC3 _|_ AB, CC1 _|_ AB ⇒ DC3 || CC1
(на рис. я специально нарисовала разные отрезки DС3 и ОD, на самом деле эти точки лежат на одной прямой, т.к. центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне треугольника)))