Прямоугольный параллелепипед вписан в сферу. найдите объем параллелепипеда если площадь сферы равна 36п см^2 11 класс

Хорошо, давайте решим эту задачу поэтапно:

1. Сначала определим, что такое прямоугольный параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед - это геометрическое тело, у которого все стороны являются прямоугольниками.

2. Из условия задачи известно, что этот прямоугольный параллелепипед вписан в сферу. Вписанный прямоугольный параллелепипед означает, что его 8 вершин касаются поверхности сферы. Таким образом, у каждой грани параллелепипеда есть окружность, которая касается поверхности сферы.

3. Площадь сферы задана равной 36π см². Для нахождения объема параллелепипеда нам необходимо знать его размеры, а именно длины сторон.

4. Обозначим стороны параллелепипеда как a, b и c. Здесь a - длина, b - ширина, и c - высота.

5. Поскольку параллелепипед вписан в сферу, его диагональ будет равна диаметру сферы. Диагональ параллелепипеда выражается по формуле:
d = √(a² + b² + c²)

6. Поскольку параллелепипед прямоугольный, используя теорему Пифагора, мы знаем, что:
d = √(a² + b² + c²) = 2r

7. Здесь r - радиус сферы.

8. Теперь мы можем заменить d в уравнении выше на 2r:
√(a² + b² + c²) = 2r

9. Возводим обе части уравнения в квадрат:
a² + b² + c² = 4r²

10. Теперь вспоминаем, что площадь сферы равна 36π см². Площадь сферы известна по формуле:
S = 4πr²

11. Подставим известное значение площади сферы в это уравнение:
4πr² = 36π

12. Делим обе части уравнения на 4π:
r² = 9

13. Корень из 9 равен 3, поэтому радиус сферы r = 3.

14. Возвращаемся к уравнению a² + b² + c² = 4r² и подставляем значение r = 3:
a² + b² + c² = 4(3)²
a² + b² + c² = 36

15. Теперь, чтобы найти объем параллелепипеда, можно воспользоваться формулой:
V = abc

16. Зная, что a² + b² + c² = 36, можем подставить это значение в формулу объема:
V = √(36) * √(36) * √(36)
V = 6 * 6 * 6
V = 216

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен 216 кубическим сантиметрам.