Прямоугольная трапеция с острым углом в 30 градусов описана около окружности диаметра равного 8. найдите площадь трапеции.

Построим трапецию АВСД удовлетворяющую условиям задачи (угол ВАД = 90, АДС = 30 градусам) и проведем высоту СЕ.  
Диаметр вписанной в трапецию окружности равен высоте трапеции:
d=СЕ=АВ=8 ед.
Рассмотрим треугольник СДЕ:
угол СЕД = 90, ЕДС = 30 градусам.
Катет лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы. Значит СД=2СЕ=2*8=16 ед.
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда когда суммы ее противоположных сторон равны, то есть AD+BC=AB+CD.
Площадь трапеции равна S=((a+b) h)/2 (где a и b основания трапеции h высота)  
S=((ВС+АД)*СЕ)/2
Так как AD+BC=AB+CD то площадь данной трапеции равна:
S=((AB+CD)*СЕ)/2
S=((8+16)*8/2=96 кв. ед.