Просмотр содержимого документа
«Контрольная работа по геометрии в 8 класс по теме "Признаки подобия треугольников"»
8 класс 1.02.2018

Урок № 38
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 ПО ТЕМЕ «ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЬНИКОВ»

Цели: создать условия для выявления уровня знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

1. Организация учащихся на выполнение работы.

2. Выполнение работы по вариантам. Рис. 1

Вариант I

1. На рисунке 1 АВ || СD.

а) Докажите, что АО : ОС = ВО : ОD.

б) Найдите АВ, если ОD = 15 см, ОВ = 9 см, СD = 25 см.

2. Найдите отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, KM = 10 cм, MN = 15 см, NK = 20 см.

Вариант II Рис. 2

1. На рисунке 2 MN || АС.
а) Докажите, что АВ · BN = CВ · BM.

б) Найдите MN, если AM = 6 см, ВM = 8 см, АС = 21 см.

2. Даны стороны треугольников PQR и АВС: PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см и АВ = 12 cм, ВС = 15 см, АС = 21 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Докажите, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон.

2. Даны отрезок АВ и параллельная ему прямая а. Воспользовавшись утверждением, доказанным в задаче 1, разделите отрезок АВ пополам при одной линейки.

Здравствуйте! Спасибо, что обратились ко мне с вопросом. Я готов помочь вам разобраться с заданиями из контрольной работы по геометрии.

Вариант I

1. На рисунке 1 АВ || СD.

а) Для доказательства того, что АО : ОС = ВО : ОD, мы можем воспользоваться одной из теорем подобия треугольников. В данном случае, мы можем использовать теорему о параллельных прямых, которая говорит, что если две параллельные прямые пересекают стороны двух треугольников, то отношения соответствующих сторон обоих треугольников равны между собой.

Таким образом, у нас есть следующие пары подобных сторон треугольников:

AO и ВO - соответствующие стороны, так как они лежат на параллельных прямых;
ОD и ОС - соответственные стороны, так как также лежат на параллельных прямых.

Исходя из этого, мы можем записать отношение длин сторон треугольников:

АО : ОС = ВО : ОD.

б) Чтобы найти длину стороны АВ, мы можем использовать найденное отношение сторон и известные значения длин сторон треугольника.

Имеем:

ОD = 15 см, ОВ = 9 см, СD = 25 см.

Заменяем известные значения в формулу:

АО : ОС = ВО : ОD,

тогда

АО : ОС = 9 : 15.

Сокращаем дробь:

АО : ОС = 3 : 5.

Теперь, чтобы найти длину стороны АВ, мы можем взять любую известную сторону и умножить ее на отношение сторон, в данном случае, можем взять ОС:

АВ = ОС * (АО : ОС) = 15 см * (3 : 5).

Выполняем простые математические вычисления:

АВ = 9 см.

Ответ: АВ = 9 см.

2. Чтобы найти отношение площадей треугольников АВС и KMN, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади треугольника:

S = (1/2) * a * h,

где S - площадь, a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Имеем следующие данные:

АВ = 8 см, ВС = 12 см, АС = 16 см, KM = 10 cм, MN = 15 см, NK = 20 см.

Для треугольника АВС:

S(АВС) = (1/2) * АВ * h(АВС).

h(АВС) - это высота, относящаяся к стороне АВ. Чтобы найти высоту, мы можем использовать формулу для нахождения высоты треугольника, зная его стороны:

h(АВС) = 2 * S(АВС) / АВ.

Подставляем известные значения:

h(АВС) = 2 * (1/2) * ВС * h(АВС) / АВ.

h(АВС) = ВС * h(АВС) / АВ.

h(АВС) = 12 * h(АВС) / 8.

Теперь можем использовать это для нахождения площади треугольника АВС:

S(АВС) = (1/2) * АВ * h(АВС) = (1/2) * 8 * h(АВС) = 4 * h(АВС).

Точно так же находим высоту и площадь треугольника KMN:

h(KMN) = 2 * S(KMN) / KM,

h(KMN) = MN * h(KMN) / NK,

S(KMN) = (1/2) * KM * h(KMN) = (1/2) * 10 * h(KMN) = 5 * h(KMN).

Теперь, чтобы найти отношение площадей, мы можем подставить найденные значения в формулу:

S(АВС) : S(KMN) = (4 * h(АВС)) : (5 * h(KMN)).

Так как h(АВС) и h(KMN) неизвестны, но отношение площадей мы можем найти без их точных значений, можем сократить формулу:

S(АВС) : S(KMN) = 4 : 5.

Ответ: отношение площадей треугольников АВС и KMN равно 4 : 5.

Вариант II

1. На рисунке 2 MN || АС.

а) Чтобы доказать, что АВ · BN = CВ · BM, мы можем использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме противоположные стороны равны между собой, поэтому АВ = CВ и BN = BM. Таким образом, мы можем записать следующее:

АВ · BN = CВ · BM.

б) Чтобы найти длину MN, мы можем использовать известные значения сторон треугольника:

AM = 6 см, ВM = 8 см, АС = 21 см.

Используем формулу для нахождения длины стороны MN в пропорции треугольников:

MN / ВM = АС / AM.

Подставляем известные значения:

MN / 8 = 21 / 6.

Выполняем простые математические вычисления:

MN = (8 * 21) / 6.

MN = 28 см.

Ответ: MN = 28 см.

2. Для нахождения отношения площадей треугольников PQR и АВС, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника:

S = (1/2) * a * h,

где S - площадь, a - основание треугольника, h - высота треугольника.

Имеем следующие данные:

PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см, АВ = 12 cм, ВС = 15 см, АС = 21 см.

Для треугольника PQR:

S(PQR) = (1/2) * PQ * h(PQR).

h(PQR) - это высота, относящаяся к стороне PQ. Чтобы найти высоту, мы можем использовать формулу для нахождения высоты треугольника, зная его стороны:

h(PQR) = 2 * S(PQR) / PQ.

Подставляем известные значения:

h(PQR) = 2 * (1/2) * QR * h(PQR) / PQ.

h(PQR) = QR * h(PQR) / PQ.

h(PQR) = 20 * h(PQR) / 16.

Теперь можем использовать это для нахождения площади треугольника PQR:

S(PQR) = (1/2) * PQ * h(PQR) = (1/2) * 16 * h(PQR) = 8 * h(PQR).

Точно так же находим высоту и площадь треугольника АВС:

h(АВС) = 2 * S(АВС) / АВ,

h(АВС) = ВС * h(АВС) / АВ,

S(АВС) = (1/2) * АВ * h(АВС) = (1/2) * 12 * h(АВС) = 6 * h(АВС).

Теперь, чтобы найти отношение площадей, мы можем подставить найденные значения в формулу:

S(PQR) : S(АВС) = (8 * h(PQR)) : (6 * h(АВС)).

Так как h(PQR) и h(АВС) неизвестны, но отношение площадей мы можем найти без их точных значений, можем сократить формулу:

S(PQR) : S(АВС) = 4 : 3.

Ответ: отношение площадей треугольников PQR и АВС равно 4 : 3.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. Для доказательства того, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения боковых сторон, мы можем использовать свойства трапеции. Одно из них говорит о том, что прямая, проведенная через середины оснований, параллельна основаниям трапеции и ее длина равна половине суммы длин оснований. Также свойство трапеции говорит о том, что точка пересечения диагоналей трапеции делит каждую диагональ пополам.

Таким образом, мы можем доказать то, что прямая, проведенная через середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей, и что точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.

2. Для разделения отрезка АВ пополам при одной линейке, мы можем воспользоваться свойствами параллельных прямых. Одно из свойств говорит о том, что продолжение стороны параллелограмма пересекает другую сторону параллелограмма в той же пропорции.

Исходя из этого свойства, мы можем использовать параллельную прямую а для разделения отрезка АВ пополам. Для этого мы должны провести прямую из точки А параллельно отрезку АВ, которая пересечет параллельную прямую а в точке М. Тогда, отрезок МВ будет равен отрезку АМ, и, следовательно, АМ является половиной отрезка АВ при одной линейке.

Я надеюсь, что это разъяснение поможет вам лучше понять и решить задачи из вашей контрольной работы по геометрии. Если у вас возникнут еще вопросы или потребуется дополнительная помощь, пожалуйста, не стесняйтесь обращаться ко мне. Удачи вам!