Предел функции limx→∞,y→∞(5x2+y2)ln(1+15x2+y2) равен

Давайте рассмотрим данную функцию и пошагово найдем ее предел.

Для начала, давайте разложим функцию на две части:
f(x,y) = (5x^2 + y^2) * ln(1 + 15x^2 + y^2)

Шаг 1: Проверка на бесконечность
Мы хотим вычислить предел функции, когда x и y стремятся к бесконечности. Поэтому давайте сначала проверим поведение функции в сторону бесконечности.

Разделим нашу функцию на две части и проанализируем каждую отдельно:
f(x,y) = (5x^2 + y^2) * ln(1 + 15x^2 + y^2)

Часть 1: (5x^2 + y^2)
Как увеличиваются x и y, эта часть также будет увеличиваться. Она растет квадратично и становится все больше и больше по мере увеличения х и у.

Часть 2: ln(1 + 15x^2 + y^2)
Эта часть фактически зависит от значения 15x^2 + y^2. Также мы знаем, что ln(1 + x) больше нуля для любого положительного x. Таким образом, эта часть на самом деле ограничена сверху некоторым значением.

Таким образом, мы видим, что при увеличении x и y, первая часть будет расти быстрее, чем вторая часть. Это означает, что предел функции будет равен бесконечности.

Шаг 2: Формальное доказательство

Мы можем формально доказать, что предел функции равен бесконечности, используя определение предела.

Для любого положительного числа M, мы должны найти такие значения x и y, что для всех x > x0 и y > y0 (где x0 и y0 - некоторые начальные значения), значение функции f(x,y) будет больше M.

Давайте возьмем произвольное положительное число M.

Мы можем выбрать x0 и y0 таким образом, чтобы 15x0^2 + y0^2 было больше M (так как первая часть функции будет становиться все больше по мере увеличения x и y).

Теперь, для всех x > x0 и y > y0, первая часть функции будет больше 15x0^2 + y0^2, а вторая часть по-прежнему будет ограничена сверху некоторым значением. Таким образом, значение функции f(x,y) будет больше M для всех x > x0 и y > y0.

Это означает, что предел функции равен бесконечности.

Итак, ответ на вопрос "Предел функции limx→∞,y→∞(5x^2+y^2)ln(1+15x^2+y^2)" равен бесконечности.