Плоскость проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противоположного ребра,образует с основанием угол в 45 градусов. сторона основания равна а. определите площадь боковой
поверхности.

На самом деле нам сказано в условии, что высота призмы равна удвоенной высоте треугольника в основании.

(Ясно, что половина ребра и высота треугольника в основании образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. А кому не ясно - проведите сечение призмы через это боковое ребро перпендикулярно стороне, через которую проходит плоскость, заданная в задаче. С основанием это сечение пересечется как раз по высоте, и угол там будет как раз 45 градусов, и именно там где нужно :.

Если сторона основания а, то высота ОСНОВАНИЯ а*корень(3)/2, а высота ПРИЗМЫ

Н = а*корень(3);

Площадь боковой поверхности равна 3*а*Н = a^2*3*корень(3);