Плоскость α проходит через точки А (–1; 3; 4), B (–1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость β задана уравнением 3x+y+z-3=0 .
Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат.

Из уравнения 3x+4y-z=-12 вектор нормали к этой плоскости равен  Значит, вектор нормали к искомой плоскости можно найти как векторное произведение

что коллинеарно вектору (1,-1,-1). Поэтому искомое уравнение плоскости имеет вид x-y-z=c. Величину  находим из условия принадлежности точки А этой плоскости:  Итак, искомое уравнение плоскости x-y-z=6.

Объяснение:

Для начала, давайте определим уравнение плоскости α, проходящей через точки A, B и C.

Плоскость α можно задать уравнением, где коэффициенты x, y и z определяются исходя из нормали плоскости, которая перпендикулярна этой плоскости.

Чтобы найти нормаль плоскости α, мы можем использовать косинусный закон, который говорит, что векторное произведение двух векторов равно произведению их длин на синус угла между ними. В данном случае векторами будут AB и AC, а угол между ними обозначим как θ.

AB = B - A = (-1, 5, 0) - (-1, 3, 4) = (0, 2, -4)
AC = C - A = (2, 6, 1) - (-1, 3, 4) = (3, 3, -3)

Теперь найдем длину этих векторов:
|AB| = √(0^2 + 2^2 + (-4)^2) = √(0 + 4 + 16) = √20 = 2√5
|AC| = √(3^2 + 3^2 + (-3)^2) = √(9 + 9 + 9) = √27 = 3√3

Теперь найдем синус угла θ с помощью формулы:
sin(θ) = (AB x AC) / (|AB| * |AC|), где AB x AC - векторное произведение векторов AB и AC

AB x AC = (0, 2, -4) x (3, 3, -3) = (2*(-3) - (-4)*3, -4*3 - 0*(-3), 0*3 - 2*3) = (-6 + 12, -12 - 0, 0 - 6) = (6, -12, -6)

Теперь найдем синус угла
sin(θ) = (6, -12, -6) / (2√5 * 3√3) = (2 * √5) / (√5 * √3) = 2 / √3 = (2 * √3) / 3

Так как мы хотим проверить, что плоскости α и β перпендикулярны, то sin(θ) должен равняться 0. Проверим это:
(2 * √3) / 3 = 0

Таким образом, sin(θ) ≠ 0, значит, плоскости α и β не перпендикулярны.

Чтобы выяснить, какая из плоскостей расположена ближе к началу координат, мы можем воспользоваться расстоянием от начала координат до плоскости.

Расстояние от начала координат до плоскости β можно найти с помощью следующей формулы:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2), где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а D - свободный член

В нашем случае, уравнение плоскости β имеет вид: 3x + y + z - 3 = 0
Сравнивая с общим уравнением плоскости Ax + By + Cz + D = 0, мы видим, что A=3, B=1, C=1, D=-3

Теперь подставим значения в формулу:
d = |3*0 + 1*0 + 1*0 - 3| / √(3^2 + 1^2 + 1^2) = 3 / √11

Аналогично, найдем расстояние от начала координат до плоскости α. Для этого мы можем взять одну из точек, например, A(-1, 3, 4), и подставить в формулу:
d = |-1*3 + 3*3 + 4*1 + D| / √(3^2 + 3^2 + 1^2) = |-3 + 9 + 4 + D| / √19

Теперь сравним полученные значения расстояний:
3 / √11 ≈ 0.9031 и |-3 + 9 + 4 + D| / √19

Чтобы узнать, какая из плоскостей ближе к началу координат, мы должны сравнить числовые значения этих выражений. В данном случае, чтобы узнать, какая плоскость ближе к началу координат, нужно проверить, какая из двух долей больше. То есть, нужно сравнить два числа:

3 / √11 и |-3 + 9 + 4 + D| / √19

К сожалению, в условии не дано значение D, поэтому без этого значения мы не можем точно определить, какая из плоскостей ближе к началу координат.