Плоскость боковой грани правильной треугольной пирамиды составляет угол 30 с плоскостью основания. Радиус окружности описанной около основания, равен 2см. Найти площадь полной поверхности пирамиды

ответ: Sпол=40,2см²

Объяснение: обозначим вершины пирамиды АВСД с высотой ДО. В основании правильной 3 -угольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Рассмотрим ∆АДО. Он прямоугольный в котором АО и ДО - катеты, а АД- гипотенуза. < дАо=30°, а катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы. Пусть катет ДО=х, тогда АД=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

(2х)²-х²=2²

4х²-х²=4

3х²=4

х²=4/3

х=√(4/3)=2/√3см, тогда АД=2√3×2=4√3см

Сторона "a"треугольника вписанного в окружность вычисляется по формуле радиуса: R=a/√3

a/√3=2

a=2√3

Стороны основания =2√3см

Площадь равносотороннего треугольника вычисляется по формуле:

Sосн=а²√3/4=

=(2√3)²×√3/4=4×3√3/4=3√3см²

Проведём апофему ДК и получим прямоугольный треугольник АДК, в котором АК и ДК - катеты, а АД- гипотенуза. ДК делит сторону АС пополам, поскольку боковая грань - это равнобедренный треугольник, поэтому АК=СК=2√3/2=√3см. Найдём ДК по теореме Пифагора:

ДК²=АД²-АК²=(4/√3)²-(√3)²=

=16×3-3=48-3=45; ДК=√45=3√5см

Найдём площадь боковой грани по формуле: S=½×AC×ДК=½×2√3×3√5=3√15см²

Таких граней 3, поэтому:

Sбок.пов=3√15×3=9√15см²

Sпол=Sосн+Sбок.пов=3√3+9√15=

=3×1,7+9×3,9=5,1+35,1=40,2см²