Площадь треугольника MNK составляет 10 в корне 3. Чему равен угол N , лежащий напротив меньшей стороны, если MN = 4 в корне 3 , NK = 10?

Для решения этой задачи, нам необходимо применить основные принципы геометрии треугольников.

Дано:
Площадь треугольника MNK равна 10√3.
Длина стороны MN равна 4√3.
Длина стороны NK равна 10.

Шаг 1: Найдем высоту треугольника MNK.
Мы можем использовать формулу для площади треугольника: площадь равна половине произведения базы и высоты. В данном случае, базой будет сторона MK, а высотой будет высота, опущенная из вершины N на сторону MK.

Поэтому площадь треугольника MNK равна (1/2) * MK * высота.
Запишем это в уравнение:
10√3 = (1/2) * 10 * высота.
Сократим 10 и 1/2:
√3 = высота.

Шаг 2: Найдем длину стороны MK.
Мы можем применить теорему Пифагора для прямоугольного треугольника MNK. Гипотенузой будет сторона NK, а катетами будут стороны MN и MK.

Поэтому мы можем записать это в уравнение:
(4√3)^2 + MK^2 = 10^2.
Упростим:
48 + MK^2 = 100.
Вычтем 48 из обеих сторон:
MK^2 = 52.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:
MK = √52.
Упростим:
MK = 2√13.

Шаг 3: Найдем значение угла N.
Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит, что соотношение между длинами сторон треугольника и синусами соответствующих углов является постоянным.
В нашем случае, мы можем записать это в уравнение:
NK / sin(N) = MN / sin(M) = MK / sin(K).

Подставим известные значения:
10 / sin(N) = 4√3 / sin(M) = 2√13 / sin(K).

Поскольку мы ищем угол N, мы можем сосредоточиться на первом отношении:
10 / sin(N) = 4√3 / sin(M).

Теперь мы можем найти значение угла N, используя обратную функцию синуса:
sin(N) = 10 / (4√3 / sin(M)).
sin(N) = 10sin(M) / 4√3.
sin(N) = (5/2)sin(M) / √3.

Теперь мы должны понять, что sin(M) может быть найден как соотношение стороны против угла N и гипотенузы:
sin(M) = (√3 / 2) * 4√3 / 10 = 4/5.

Теперь мы можем вернуться к нашему уравнению:
sin(N) = (5/2) * (4/5) / √3.
sin(N) = 4/√3.

Найдем обратную функцию синуса от 4/√3:
N = arcsin(4/√3).

Поскольку нас интересует угол N, который лежит напротив меньшей стороны, обратимся к окружности синусов, которая даст нам значение угла:
N = arcsin(4/√3) = 60°.

Таким образом, угол N, лежащий напротив меньшей стороны, равен 60°.