Площадь сферы, вписанной в куб, равна 16π. найти радиус сферы, описанной около этого куба.​

Добрый день! С удовольствием помогу вам разобраться с этой задачей.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства сферы и куба.

Сфера:
- Сфера - это геометрическое тело, состоящее из всех точек пространства, равноудаленных от центра.
- Радиус сферы - это расстояние от центра сферы до любой точки ее поверхности.
- Площадь поверхности сферы можно вычислить с помощью формулы: S = 4πr², где S - площадь поверхности сферы, а r - радиус сферы.

Куб:
- Куб - это геометрическое тело, у которого все стороны равны друг другу и прямоугольные.
- Площадь поверхности куба можно вычислить с помощью формулы: S = 6a², где S - площадь поверхности куба, а a - длина стороны куба.

Теперь приступим к решению задачи.

У нас есть информация о площади поверхности вписанной в куб сферы, она равна 16π. По формуле для сферы, мы можем записать это как:
4πr² = 16π,

Теперь давайте разделим обе части уравнения на 4π, чтобы избавиться от π в левой части уравнения:
r² = 16/4,
r² = 4.

Чтобы найти радиус сферы, квадрат которого равен 4, возьмем корень из обеих частей уравнения:
r = √4,
r = 2.

Итак, получили, что радиус сферы, вписанной в куб, равен 2.

Теперь перейдем к нахождению радиуса сферы, описанной вокруг этого куба.

Мы знаем, что описанная сфера проходит через вершины куба. Пусть длина ребра куба равна a. Так как каждая сторона куба равна a, то диагональ грани куба равна √(a² + a²) = √2a.

Так как сфера описана вокруг куба, ее радиус будет равен половине диагонали грани куба:
R = 1/2 * √2a.

Для того чтобы найти радиус сферы описанной около куба, нам нужно выразить a через радиус вписанной сферы.

Мы знаем, что диагональ грани куба равна √(a² + a²) = √2a, а посчитали что радиус вписанной сферы равен 2. Тогда вписанная сфера проходит через середины ребер куба, а значит расстояние от середины ребра куба до вершины равно радиусу сферы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой равной диагонали грани куба (√2a) и катетами равными a/2 и радиусу вписанной сферы (2). Тогда по теореме Пифагора имеем:

(1/2 * √2a)² = (a/2)² + 2²,
1/2 * 2a = a/4 + 4,
a = a/4 + 4,
a - a/4 = 4,
3/4 * a = 4,
a = 16/3.

Теперь найдем радиус сферы, описанной вокруг куба:
R = 1/2 * √2a = 1/2 * √(2 * 16/3) = 1/2 * √(32/3) = 1/2 * (4√2/√3) = (√2/√3) * 2.

чтобы получить ответ, можем умножить и поделить эту дробь на sqrt(2) :
R = (√2/√3) * 2 * (sqrt(2)/sqrt(2)) = 2 * sqrt(2) / (sqrt(3) * sqrt(2)) = 2 * sqrt(2) / sqrt(6).

Итак, радиус сферы, описанной около вписанного куба, равен 2 * sqrt(2) / sqrt(6), или можно упростить ответ, разделив sqrt(2) и sqrt(6) на sqrt(2) :
R = 2 * sqrt(2) / sqrt(6) * ( sqrt(2) / sqrt(2) ) = (2 * sqrt(2) * sqrt(2)) / (sqrt(6) * sqrt(2)) = 2 * (sqrt(2) * sqrt(2)) / (sqrt(6) * sqrt(2)) = 2 * 2 / sqrt(6) = 4 / sqrt(6).

Таким образом, радиус сферы, описанной около вписанного куба, равен 4 / sqrt(6).

Надеюсь, что объяснение было ясным и понятным для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.