Площадь прямоугольного треугольника равна(338к3)/3 . один из острых углов равен 30 . найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Обозначим катет прилежащий к углу в 30 через a , катет лежащий против угла в 30 или прилежащий к углу в 60 через b.  Вычислим площадь этого треугольника по формуле: площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними.. Обозначим гипотенузу треугольника через c.
S=a·c·sin30/2
S=b·c·sin60/2,
приравняем эти выражения S=S, a·c·sin30/2=b·c·sin60,
после сокращения: a·sin30=b·sin60, выразим b через a,
b=a·sin30/sin60=a·(1/2)/(√3/2)=a/√3
Вычислим площадь нашего треугольника по формуле: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
S= a·b/2, S= a·(a/√3)/2= a²/2√3, S=338√3/3, 
338√3/3=a²/2√3, a²=(338·√3·√3·2)/3=338·3·2/3=169·2·2, a=√169·4=13·2·√=26,
 
сторона а прилежащая к углу в 30 градусов, а= 26.

Вариант решения. 
Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С. 
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
Угол В=30º,⇒ угол А=60º. 
Площадь прямоугольного треугольника с острыми углами 30º и 60º равна половине площади равностороннего треугольника со стороной а.
Площадь правильного треугольника находят по формуле (a²√3):4
Тогда 
S Δ ABC=0,5*(a²√3):4=(a²√3):8, где АВ=а. 
По условию 
(a²√3):8=(338√3):3 
3a²=8*338=8*2*169=4²*13²
a²=(4²*13²):3
a=4*13:√3
АВ=4*13:√3 
К углу, равному 30º, прилежит катет ВС. 
ВС=АВ*cos 30º
BC=(4*13:√3)*√3]:2=26
---
Тот же результат получится, если находить ВС по т. Пифагора, приняв АС за а/2.