Площадь боковой поверхности усеченного конуса равно 128 Пи см^2, образующая конуса 8 см. Найдите радиусы оснований, если они относятся как 2:5, а так же определите объём усеченного конуса.

V = 79872√(13) / 1029

r = 32 / 7

R = 80/7

Объяснение:

Площадь боковой поверхности конуса определяется по формуле:

S = π*L*(R + r), где L - длина  образующей, R и r - радиусы оснований.

Пусть (х) - коэффициент пропорциональности, обозначим радиус верхнего основания за (2х), радиус нижнего - за  (5х).

Подставляем:

128π = π*8*(2х + 5х)

7х = 128π/8π

х = 16/7

Значит: r = 2x = 2 * 16/7 = 32 / 7

R = 5x = 5 * 16/7 = 80/7

Объём усеченного конуса вычисляется по формуле:

V=⅓πH(r²+R*r+R²)

Но для этого необходимо найти высоту усеченного конуса.

Осевое сечение данного  усеченного конуса - равнобедренная трапеция.( верхнее основание равно 2r = 2*32/7 = 64/7, а нижнее - 2R = 2* 80/7 = 160/7) В ней малый отрезок, отрезок отсекаемый перпендикуляром (опущенным из вершины верхнего основания на нижнее основание) от большего основания, равен полуразности оснований (по свойству равнобедренной трапеции):

(если обозначить этот отрезок, скажем, за "y")

у = [160/7 - 64/7] / 2 = 96 / 7*2 = 96/14 = 48/7

А высота (из теоремы Пифагора):

Н = √(L² - у²) = √(64 - 2304/49) = √(3136 - 2304) / 7 = √832 / 7 = 8/7 * √(13)

Подставим:

V=⅓*π*H*(r² + R*r + R²) = ⅓*π*8/7 * √(13)*( 1024 + 6400 + 2560) / 49 = 8π/1029 * √(13) * 9984 = 79872√(13) / 1029