Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. найти радиус окружности вписанный в треугольник, если его стороны образуют арифметическую прогрессию.

Вариант решения. 

Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Sn=[2a1+(n-1)•d]•n:2, где n- число членов арифметической прогрессии, а1 - её первый член. d -разность арифметической прогрессии, S- сумма

Примем d=1. Тогда

24=(2a1+2)•3:2 ⇒

откуда а1=7, а2=8, а3=9

Или немного проще: 

Среднее арифметическое сторон этого треугольника 24:3=8.

Если d=1

То а=8-1=7, b=8, c=8+1=9

Получаем стороны треугольника 7, 8, 9 и их сумма равна  данному в условии периметру  24. . Красиво. 

Но по т.Пифагора с²=а²+b² 

81≠49+64 ⇒ треугольник с такими сторонами не прямоугольный. 

Если d=2, то а=6, b=8. с=10. Это сочетание сторон можно и не проверять, они составят так называемый "египетский" прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5. 

Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник 

r=(a+b-c):2 ⇒

r=(6+8-10):2=2 см

Стороны треугольника по возрастанию а, б, с см.
a+b+c = 24
если это прогрессия, то разность соседних членов постоянна
b-a = c-b
И теорема Пифагора
a²+b² = c²
Три уравнения, три неизвестных
c = 2b-a
a+b+2b-a = 24
3b = 24
b=8
a+8+c = 24
c = 16-a
a²+8² = c²
a²+8² = (16-a)²
a²+64 = 256-32a+a²
2=8-a
a=6
c = 16-a = 10
радиус вписанной окружности через площадь и полупериметр
S = r·p
p = 1/2*P = 12 cm
S = 1/2*6*8 = 24 cm²
r = S/p = 24/12 = 2 cm